Matematica · 1ª media · Capitolo

Le frazioni

Un intero diviso in parti uguali, e alcune di quelle parti prese: da qui nascono il confronto, la posizione sulla retta, le frazioni equivalenti e il passaggio al numero decimale. Dieci lezioni e una palestra a sei livelli.

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Di che cosa parla il capitolo

Una frazione può descrivere una parte di un intero, indicare un numero sulla retta oppure esprimere un rapporto. In ogni caso il denominatore dice in quante parti uguali si considera l'unità e non può essere zero; il numeratore dice quante di quelle parti si prendono.

Parte di un intero

$\frac{3}{5}$

tre delle cinque parti uguali in cui è stato diviso l'intero

Numero

$\frac{7}{5}$

sette unità frazionarie da un quinto: un numero maggiore di 1

Scritture equivalenti

$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,6$

forme diverse possono indicare lo stesso valore

Leggerai e costruirai modelli formati da parti uguali.
Calcolerai una frazione di una quantità e risalirai dalla parte all'intero.
Riconoscerai frazioni minori, uguali o maggiori di $1$ e le collocherai sulla retta.
Otterrai frazioni equivalenti mediante espansione e riduzione, fino ai minimi termini.
Passerai dalla frazione al numero decimale e userai frazioni e modelli a caselle nei rapporti.

Alla fine del capitolo saprai scegliere la rappresentazione più utile e controllare che ogni trasformazione conservi lo stesso valore.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

Quiz di fine capitolo

Un cerchio è diviso in quattro parti, ma non tutte della stessa grandezza. Se ne colora una. Si può dire che è colorato $\frac{1}{4}$ del cerchio?
- A Sì, perché le parti sono quattro e una è colorata
- B Sì, ma solo se la parte colorata è la più grande
- C No, perché una frazione richiede parti tutte uguali fra loro
- D No, perché con quattro parti si può parlare solo di $\frac{2}{4}$
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Risposta giusta: C. No, perché una frazione richiede parti tutte uguali fra loro
Il denominatore conta le parti uguali in cui si divide l'intero: se le parti hanno grandezze diverse, quel conteggio non descrive più una quantità. Contare le parti senza guardare se sono uguali è l'errore più comune, ed è proprio quello che rende sbagliata la prima risposta.
In una classe di 24 studenti, $\frac{5}{8}$ cantano nel coro. Quanti sono?
- A 15 studenti
- B 9 studenti
- C 3 studenti
- D 19 studenti
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Risposta giusta: A. 15 studenti
Si divide per il denominatore e si moltiplica per il numeratore: $24 : 8 = 3$ , poi $3 \cdot 5 = 15$ . Chi risponde 9 ha calcolato $\frac{3}{8}$ di 24, cioè la parte che resta fuori dal coro: una domanda diversa da quella posta.
Giulia ha speso un terzo dei suoi soldi, e quel terzo vale 5 euro. Quanti soldi aveva prima di spendere?
- A 10 euro
- B 15 euro
- C 5 euro
- D $1,66$ euro
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Risposta giusta: B. 15 euro
Un terzo vale 5 euro, quindi l'intero vale tre volte tanto: $5 \cdot 3 = 15$ euro. Chi risponde 10 euro ha trovato i due terzi rimasti e si è fermato prima della domanda; chi divide invece di moltiplicare ottiene $1,66$ , un valore più piccolo della parte, e questo da solo segnala l'errore.
Quale numero misto corrisponde a $\frac{13}{4}$ ?
- A $4 \frac{1}{3}$
- B $1 \frac{3}{4}$
- C $3 \frac{1}{13}$
- D $3 \frac{1}{4}$
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Risposta giusta: D. $3 \frac{1}{4}$
Si divide il numeratore per il denominatore: $13 : 4 = 3$ con resto 1, quindi $\frac{13}{4}$ vale 3 interi e un quarto. Chi scrive $4 \frac{1}{3}$ ha scambiato i ruoli nella divisione e ottiene un numero più grande di quello di partenza, che quindi non può essere lo stesso.
Su una retta dei numeri il tratto da 0 a 1 è diviso in cinque parti uguali. Dove si trova $\frac{7}{5}$ ?
- A Fra 0 e 1, sul settimo trattino
- B Esattamente su 1
- C Fra 1 e 2, due trattini dopo l'uno
- D Fra 2 e 3, perché il numeratore è 7
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Risposta giusta: C. Fra 1 e 2, due trattini dopo l'uno
$\frac{7}{5}$ vale un intero più $\frac{2}{5}$ , perché $7 : 5 = 1$ con resto 2: si parte da 1 e si contano due delle cinque parti. Cercarlo fra 0 e 1 non è possibile: con cinque parti per ogni unità, il settimo trattino ha già superato l'uno.
Quale di queste scritture NON rappresenta la stessa quantità di $\frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{6}{10}$
- B $0,6$
- C $\frac{9}{15}$
- D $\frac{5}{3}$
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Risposta giusta: D. $\frac{5}{3}$
$\frac{6}{10}$ e $\frac{9}{15}$ si ottengono da $\frac{3}{5}$ moltiplicando sopra e sotto per 2 e per 3, e $3 : 5 = 0,6$ : le prime tre scritture valgono tutte la stessa quantità. $\frac{5}{3}$ ha numeratore e denominatore scambiati, quindi è maggiore di un intero mentre $\frac{3}{5}$ è minore, e non può essere lo stesso numero.
Riduci ai minimi termini $\frac{18}{24}$ .
- A $\frac{3}{4}$
- B $\frac{9}{12}$
- C $\frac{6}{8}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: A. $\frac{3}{4}$
Si divide sopra e sotto per il massimo comune divisore, che qui è 6: $18 : 6 = 3$ e $24 : 6 = 4$ , quindi $\frac{3}{4}$ . $\frac{9}{12}$ e $\frac{6}{8}$ valgono la stessa quantità ma non sono ai minimi termini, perché si possono ancora ridurre: la richiesta era arrivare fino in fondo.
In un cesto ci sono 8 mele e 12 pere. Qual è il rapporto fra il numero di mele e il numero totale di frutti?
- A $\frac{8}{12}$
- B $\frac{2}{5}$
- C $\frac{12}{20}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: B. $\frac{2}{5}$
I frutti in tutto sono $8 + 12 = 20$ , quindi il rapporto è $\frac{8}{20}$ , che ridotto ai minimi termini fa $\frac{2}{5}$ . $\frac{8}{12}$ confronta le mele con le pere e non con il totale: risponde a un'altra domanda, ed è la trappola più frequente quando si legge di fretta.

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