Matematica · 1ª media · Lezione 3 di 10

Problemi con le frazioni

Risolvere problemi in cui una quantità è espressa come frazione di un'altra, anche quando l'intero cambia lungo il testo.

Apri la lezione interattiva

Teoria in pillole

Prima di usare una frazione in un problema, individua l'intero di riferimento: la quantità a cui quella frazione si applica. Se il problema ha più passaggi, l'intero può cambiare e deve essere nominato di nuovo.

Intero noto, parte incognita

Calcola i due quinti di 30.

$30 : 5 \cdot 2 = 12$

due quinti di 30 sono 12

Parte nota, intero incognito

Due quinti di una quantità valgono 12. Trova l'intero.

$12 : 2 \cdot 5 = 30$

se due quinti valgono 12, l'intero vale 30

L'intero cambia

Di 30 figurine ne vengono regalati $\frac{2}{5}$ ; poi si regala la metà delle figurine rimaste.

$30 : 5 \cdot 2 = 12$

$30 - 12 = 18$

$18 : 2 = 9$

la metà si calcola sulle 18 figurine rimaste; controllo: 12 + 9 + 9 = 30. La seconda volta vengono regalate 9 figurine.

Sottolinea nel testo la quantità che svolge il ruolo di intero per ogni frazione.
Scrivi prima la relazione tra intero e parte, poi esegui i calcoli nell'ordine.
Dopo ogni passaggio, indica con parole che cosa rappresenta il risultato ottenuto.
Verifica ricomponendo l'intero o confrontando parte usata e parte rimasta.

Due frazioni presenti nello stesso testo non sono automaticamente frazioni dello stesso intero. Se la seconda si riferisce a ciò che resta, deve essere calcolata sul resto.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

Domande

In una classe di 27 alunni, $\frac{5}{9}$ sono femmine. Quante sono le femmine?
- A $15$
- B $3$
- C $12$
- D $5$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $15$
Una parte vale $27 : 9 = 3$ alunni e le parti da prendere sono 5: $3 \cdot 5 = 15$ femmine. Il numero $12$ è la risposta all'altra domanda, quella sui maschi: sono le quattro parti che restano.
Alla verifica di scienze Anna ha fatto 30 punti, cioè $\frac{3}{5}$ del totale. Qual era il punteggio massimo?
- A $18$
- B $90$
- C $50$
- D $35$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $50$
I 30 punti sono tre parti su cinque, quindi una parte vale $30 : 3 = 10$ e il totale vale $10 \cdot 5 = 50$ . Chi risponde $90$ ha moltiplicato 30 per il numeratore invece di dividerlo per il numeratore: il 3 dice quante parti sono già contate nei 30 punti, non per quanto moltiplicare.
Matteo ha mangiato $\frac{3}{5}$ di una torta. Giulia prende la metà di quello che rimane. Quale parte della torta intera resta per Chiara?
- A $\frac{2}{5}$
- B $\frac{1}{5}$
- C $\frac{1}{2}$
- D $\frac{1}{10}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $\frac{1}{5}$
Dopo Matteo restano $\frac{2}{5}$ di torta. Giulia prende la metà di quei due quinti, cioè un quinto, e un quinto resta a Chiara. Chi risponde $\frac{1}{2}$ ha letto la metà come metà della torta intera, ma quella metà si riferisce solo a quello che era rimasto.
Un cane ruba delle salsicce. Ne mangia la metà. Delle rimanenti ne sotterra la metà. Un gatto gli ruba le ultime 2. Quante salsicce aveva rubato?
- A $4$
- B $6$
- C $16$
- D $8$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $8$
Si torna indietro un passo alla volta: le 2 salsicce finali sono la metà delle rimanenti, quindi le rimanenti erano 4; e quelle 4 erano la metà del totale, quindi il totale era 8. Chi risponde $4$ ha fatto un solo passo indietro invece di due.
$\frac{3}{5}$ delle mele sono state mangiate e ne sono rimaste 8. Quante mele c'erano all'inizio?
- A $13$
- B $24$
- C $20$
- D $40$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $20$
Le 8 mele rimaste sono i due quinti, non i tre quinti: allora una parte vale $8 : 2 = 4$ e l'intero vale $4 \cdot 5 = 20$ . Chi risponde $24$ ha moltiplicato le 8 mele per il 3 della frazione mangiata, ma quel 3 conta le parti mangiate, non quelle rimaste; chi risponde $40$ ha moltiplicato per il denominatore senza dividere prima.
In un'orchestra la metà dei musicisti suona uno strumento ad arco, un terzo uno strumento a fiato e il resto sono percussionisti. I percussionisti sono 6. Quanti musicisti ha l'orchestra?
- A $36$
- B $12$
- C $18$
- D $30$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $36$
Archi e fiati insieme sono $\frac{1}{2}$ più $\frac{1}{3}$ , cioè tre sesti più due sesti, cioè cinque sesti: ai percussionisti resta un sesto. Se $\frac{1}{6}$ vale 6 musicisti, l'intera orchestra ne ha $6 \cdot 6 = 36$ . Chi risponde $12$ o $18$ ha moltiplicato per uno dei due denominatori che compaiono nel testo, 2 o 3, invece che per il 6 che nasce dal loro confronto.
Marco prende un quinto delle mele di un cestino. Poi Alice prende la metà delle mele rimaste. La metà di Alice è calcolata su che cosa?
- A Sul cestino intero, esattamente come la frazione di Marco
- B Sulla parte che ha preso Marco
- C Su metà del cestino, in ogni caso
- D Sulle mele rimaste nel cestino dopo che Marco ha preso la sua parte
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. Sulle mele rimaste nel cestino dopo che Marco ha preso la sua parte
Ogni frazione si riferisce all'intero che il testo le assegna, e dopo il primo passaggio l'intero non è più il cestino pieno: è quello che resta. La metà di Alice si calcola sui quattro quinti rimasti, quindi Alice prende due quinti del cestino di partenza.
Pietro e Matteo hanno mangiato $\frac{3}{8}$ delle pizzette di un vassoio e ne restano 15. Quante pizzette c'erano all'inizio?
- A $40$
- B $24$
- C $23$
- D $45$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $24$
Le 15 pizzette rimaste sono cinque ottavi, perché tre ottavi sono stati mangiati: una parte vale $15 : 5 = 3$ e l'intero vale $3 \cdot 8 = 24$ . Chi risponde $40$ ha trattato le 15 pizzette come i tre ottavi invece che come i cinque rimasti.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

Apri la lezione interattiva