Matematica · 1ª media · Lezione 4 di 10

Frazioni minori, uguali o maggiori di 1

Guardi una frazione e capisci subito se vale meno, uguale o più di 1: basta confrontare numeratore e denominatore. Poi impari a passare da frazione a numero misto e viceversa.

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Teoria in pillole

Confrontando numeratore e denominatore puoi stabilire se una frazione è minore, uguale o maggiore di $1$ . Quando il numeratore contiene più di un intero, la frazione può anche essere scritta come numero misto: una parte intera seguita da una frazione propria.

Propria

$\frac{3}{4}$

numeratore minore del denominatore: il valore è minore di 1

Apparente

$\frac{8}{4} = 2$

il numeratore è multiplo del denominatore: il valore è un numero naturale

Impropria non apparente

$\frac{5}{4}$ = $1$ $\frac{1}{4}$

numeratore maggiore del denominatore, ma non suo multiplo: il valore è maggiore di 1 e non è naturale

Dal numero misto

$2$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{11}{4}$

2 · 4 + 3 = 11; il denominatore resta 4

Per trasformare $\frac{5}{4}$ in numero misto, esegui $5 : 4$ : il quoziente $1$ è la parte intera e il resto $1$ diventa il numeratore della parte frazionaria.
Per trasformare il numero misto $2$ $\frac{3}{4}$ in frazione, calcola $2 \cdot 4 + 3 = 11$ e mantieni il denominatore $4$ .
Una frazione apparente può essere uguale a $1$ , come $\frac{4}{4}$ , oppure a un numero naturale maggiore di $1$ , come $\frac{8}{4}$ .
La parte frazionaria di un numero misto deve essere propria; altrimenti la parte intera non è completa.

Non basta dire che il numeratore è grande. La classificazione dipende dal confronto con il denominatore e, per riconoscere una frazione apparente, dalla divisibilità esatta.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Frazioni minori, uguali o maggiori di 1

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Simulazioni

Confronto di frazioni (PhET, sito esterno): Prova ad abbinare frazioni improprie alle figure che superano un intero e osserva come le parti eccedenti rendono visibile il confronto con uno.
Frazioni: Introduzione (PhET, sito esterno): Prova a costruire esempi sotto, sopra e uguali a un intero e osserva come il rapporto tra numeratore e denominatore determina i tre casi.
Frazioni: Numeri misti (PhET, sito esterno): Prova a trasformare una frazione maggiore di uno in numero misto e osserva come gli interi completi si separano dalla parte rimanente.

Domande

Quale di queste frazioni è maggiore di 1?
- A $\frac{4}{6}$
- B $\frac{6}{6}$
- C $\frac{5}{6}$
- D $\frac{9}{6}$
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Risposta giusta: D. $\frac{9}{6}$
$\frac{9}{6}$ è maggiore di 1 perché il numeratore, 9, supera il denominatore, 6. L'insidia è $\frac{6}{6}$ : lì numeratore e denominatore sono uguali, quindi la frazione vale esattamente 1, non di più.
Trasforma la frazione $\frac{11}{4}$ in numero misto.
- A $2 \frac{2}{4}$
- B $2 \frac{3}{4}$
- C $3 \frac{2}{4}$
- D $2 \frac{11}{4}$
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Risposta giusta: B. $2 \frac{3}{4}$
Dividi 11 per 4: il quoziente è 2 e il resto è 3, quindi $\frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$ . Chi risponde $2 \frac{11}{4}$ ha dimenticato di sottrarre il resto e ha lasciato il numeratore originale invece della parte che avanza.
Trasforma il numero misto $3 \frac{2}{5}$ in una frazione.
- A $\frac{15}{5}$
- B $\frac{5}{17}$
- C $\frac{17}{5}$
- D $\frac{13}{5}$
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Risposta giusta: C. $\frac{17}{5}$
Tre interi diventano quindicesimi: $3 \cdot 5 = 15$ . Aggiungendo il numeratore si ottiene $15 + 2 = 17$ , quindi $3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$ . Chi risponde $\frac{15}{5}$ ha moltiplicato la parte intera per il denominatore ma si è dimenticato di aggiungere il numeratore.
Quale di queste frazioni è una frazione apparente?
- A $\frac{9}{3}$
- B $\frac{8}{3}$
- C $\frac{7}{3}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: A. $\frac{9}{3}$
$\frac{9}{3}$ è apparente perché il numeratore è multiplo esatto del denominatore: $9 : 3 = 3$ , senza resto. Chi sceglie $\frac{8}{3}$ confonde «impropria» con «apparente»: il numeratore supera il denominatore, ma $8 : 3$ lascia resto, quindi non è un numero naturale.
Alessio ha corso $\frac{11}{2} km$ questa mattina. Scritta come numero misto, quanti chilometri ha corso?
- A $1 \frac{5}{2} km$
- B $5 \frac{1}{2} km$
- C $6 \frac{1}{2} km$
- D $5 \frac{11}{2} km$
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Risposta giusta: B. $5 \frac{1}{2} km$
$11 : 2 = 5$ con resto $1$ , quindi Alessio ha corso $5 \frac{1}{2} km$ . Chi risponde $6 \frac{1}{2} km$ ha arrotondato $\frac{11}{2} = 5,5$ per eccesso invece di prendere la parte intera della divisione.
Perché la frazione $\frac{8}{3}$ è maggiore di 1?
- A Perché il numeratore, 8, è comunque un numero grande.
- B Perché il denominatore, 3, è un numero piccolo.
- C Perché numeratore e denominatore sono entrambi dispari.
- D Perché il numeratore è maggiore del denominatore.
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Risposta giusta: D. Perché il numeratore è maggiore del denominatore.
Quello che conta è il confronto fra numeratore e denominatore, non quanto sono grandi presi da soli: in $\frac{8}{3}$ il numeratore supera il denominatore, quindi la frazione supera 1. Anche una frazione con numeri piccoli, come $\frac{4}{3}$ , è maggiore di 1 per lo stesso motivo: pensare che serva un numeratore «grande» è l'errore più comune.
Quale di queste frazioni è uguale a 1?
- A $\frac{9}{9}$
- B $\frac{8}{9}$
- C $\frac{10}{9}$
- D $\frac{9}{8}$
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Risposta giusta: A. $\frac{9}{9}$
$\frac{9}{9}$ vale esattamente 1 perché numeratore e denominatore sono uguali. $\frac{9}{8}$ non vale 1 anche se i due numeri sono vicini: il numeratore supera il denominatore, quindi la frazione è maggiore di 1, non uguale.
Viola ha usato $2 \frac{3}{8} m$ di stoffa per il costume. Come si scrive questa lunghezza come frazione impropria?
- A $\frac{16}{8} m$
- B $\frac{8}{19} m$
- C $\frac{19}{8} m$
- D $\frac{13}{8} m$
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Risposta giusta: C. $\frac{19}{8} m$
Due interi diventano ottavi: $2 \cdot 8 = 16$ ; aggiungendo il numeratore si ottiene $16 + 3 = 19$ , quindi $2 \frac{3}{8} m = \frac{19}{8} m$ . Chi risponde $\frac{16}{8} m$ ha moltiplicato correttamente la parte intera per il denominatore ma si è dimenticato di aggiungere il numeratore, come se gli ottavi in più non contassero.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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