Matematica · 1ª media · Lezione 5 di 10

Frazioni sulla retta dei numeri

Posizionare frazioni e numeri misti sulla retta dei numeri per confrontarli e ordinarli.

Teoria in pillole

Una frazione è un numero e occupa un punto preciso sulla retta dei numeri. Per collocarla, dividi ciascuna unità in tante parti uguali quante ne indica il denominatore, poi conta dal punto $0$ il numero di parti indicato dal numeratore.

Dividi l'unità

$1 : 5$

fra due numeri naturali consecutivi si tracciano cinque intervalli uguali

Conta dal punto zero

$\frac{7}{5}$ = $1$ $\frac{2}{5}$

sette intervalli da un quinto portano due quinti oltre 1, nello stesso punto di 1,4

Il denominatore stabilisce l'ampiezza di ogni intervallo; il numeratore dice quanti intervalli percorrere.
Le frazioni proprie non negative si collocano da $0$ compreso a $1$ escluso; quelle improprie possono superare uno o più numeri naturali.
Frazioni equivalenti occupano lo stesso punto della retta.
Per una frazione maggiore di $1$ , il numero misto aiuta a riconoscere subito tra quali interi si trova.

Il denominatore divide ogni singola unità, non l'intero tratto disegnato. Da $0$ a $2$ , i quinti formano dieci intervalli uguali.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Frazioni sulla retta dei numeri

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Simulazioni

Frazioni: Equivalenza (PhET, sito esterno): Prova a collocare frazioni equivalenti sulla stessa retta numerica e osserva come scritture differenti raggiungono esattamente lo stesso punto.
Frazioni: Introduzione (PhET, sito esterno): Prova a spostare una frazione dal modello grafico alla retta numerica e osserva come ogni parte uguale diventa un intervallo della stessa ampiezza.

Domande

Devi posizionare $\frac{3}{4}$ sulla retta. In quante parti uguali dividi il tratto fra $0$ e $1$ ?
- A $3$
- B $4$
- C $7$
- D $12$
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Risposta giusta: B. $4$
Il denominatore dice in quante parti tagliare l'unità, quindi il tratto fra $0$ e $1$ va diviso in 4 parti; poi se ne contano 3 partendo da zero. Chi risponde $3$ ha usato il numeratore, che però serve a contare le parti, non a crearle.
Fra quali due numeri naturali cade $\frac{7}{3}$ ?
- A Fra $0$ e $1$
- B Fra $1$ e $2$
- C Fra $2$ e $3$
- D Fra $3$ e $4$
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Risposta giusta: C. Fra $2$ e $3$
Basta passare al numero misto: $7 : 3$ dà 2 con resto 1, quindi $\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$ e il punto cade fra $2$ e $3$ . Chi risponde fra $3$ e $4$ ha diviso 7 per 2 invece che per 3, e i mezzi sono parti più grandi dei terzi.
A quale numero decimale corrisponde $\frac{1}{5}$ ?
- A $1,5$
- B $5,1$
- C $0,5$
- D $0,2$
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Risposta giusta: D. $0,2$
Si divide il numeratore per il denominatore: $1 : 5 = 0,2$ . Chi risponde $0,5$ ha pensato a $\frac{1}{2}$ , perché la parola metà viene in mente per prima; ma dividere l'unità in cinque parti dà parti più piccole della metà.
Come si scrive $\frac{27}{10}$ come numero misto?
- A $2 \frac{7}{10}$
- B $7 \frac{2}{10}$
- C $2 \frac{10}{7}$
- D $1 \frac{17}{10}$
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Risposta giusta: A. $2 \frac{7}{10}$
Si divide $27 : 10$ : il quoziente 2 è la parte intera e il resto 7 resta al numeratore, sullo stesso denominatore, quindi $\frac{27}{10} = 2 \frac{7}{10}$ . La scrittura $1 \frac{17}{10}$ è sbagliata perché in un numero misto la parte frazionaria deve essere minore di 1.
Un punto sulla retta sta esattamente a metà fra $1$ e $2$ . Quale frazione lo indica?
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{2}{3}$
- C $\frac{3}{2}$
- D $1 \frac{1}{3}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $\frac{3}{2}$
A metà fra $1$ e $2$ c'è $1 \frac{1}{2}$ , che come frazione si scrive $\frac{3}{2}$ : un intero fa due mezzi, più un mezzo fa tre mezzi. Chi risponde $\frac{1}{2}$ ha indicato il punto a metà fra $0$ e $1$ , che sulla retta sta molto più a sinistra.
A quale numero decimale corrisponde $\frac{21}{5}$ ?
- A $2,15$
- B $4,2$
- C $21,5$
- D $5,21$
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Risposta giusta: B. $4,2$
Si esegue la divisione $21 : 5 = 4,2$ . Come controllo, $\frac{21}{5} = 4 \frac{1}{5}$ : la parte intera 4 è proprio la cifra prima della virgola, e $\frac{1}{5}$ vale $0,2$ .
Su una retta disegnata da $0$ a $3$ , uno studente divide tutto il tratto in 3 parti uguali e scrive $\frac{1}{3}$ sopra il numero 1. Che errore ha fatto?
- A Ha diviso in tre parti tutto il tratto disegnato invece di dividere in tre parti ogni unità
- B Nessun errore: $\frac{1}{3}$ sta proprio sopra il numero 1
- C Ha scambiato numeratore e denominatore
- D Ha usato il numeratore al posto del denominatore per contare le parti
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Risposta giusta: A. Ha diviso in tre parti tutto il tratto disegnato invece di dividere in tre parti ogni unità
Il denominatore taglia l'unità, non il disegno: su una retta da $0$ a $3$ i terzi sono nove, e $\frac{1}{3}$ cade fra $0$ e $1$ , molto prima del numero 1. Dividendo in tre l'intero tratto ogni parte vale un'unità intera, e la frazione finisce nel posto sbagliato.
Quale delle due frazioni sta più a destra sulla retta, $\frac{7}{4}$ oppure $\frac{5}{2}$ ?
- A Non si può dire senza sapere l'unità di misura
- B Stanno nello stesso punto, perché valgono lo stesso numero
- C $\frac{7}{4}$ , perché il suo numeratore 7 è più grande di 5
- D $\frac{5}{2}$ , perché vale $2 \frac{1}{2}$ mentre $\frac{7}{4}$ vale $1 \frac{3}{4}$
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Risposta giusta: D. $\frac{5}{2}$ , perché vale $2 \frac{1}{2}$ mentre $\frac{7}{4}$ vale $1 \frac{3}{4}$
Trasformando in numeri misti si vede subito dove cadono: $\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ sta fra 1 e 2, mentre $\frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$ sta fra 2 e 3, quindi più a destra. Confrontare i soli numeratori non funziona, perché 7 conta quarti e 5 conta mezzi, che sono parti di grandezza diversa.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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