Frazioni equivalenti: l'espansione

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

• Costruisci una frazione (PhET, sito esterno): Prova a ricostruire una frazione con un numero maggiore di pezzi più piccoli e osserva come il valore non cambia quando aumentano entrambi i termini.
• Confronto di frazioni (PhET, sito esterno): Prova ad associare una frazione a figure suddivise in un numero crescente di parti e osserva come l'espansione conserva la porzione colorata.
• Frazioni: Equivalenza (PhET, sito esterno): Prova a moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso fattore nel modello e osserva come la frazione mantiene identica estensione.

1. Quale di queste frazioni è equivalente a $\frac{2}{3}$?

   • A $\frac{4}{3}$
   • B $\frac{2}{6}$
   • C $\frac{8}{12}$
   • D $\frac{3}{2}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. $\frac{8}{12}$

   Moltiplicando per 4 tutti e due i termini si ottiene $\frac{8}{12}$, che vale quanto $\frac{2}{3}$. Nelle altre risposte il fattore ha toccato un termine solo: in $\frac{4}{3}$ è raddoppiato il numeratore, in $\frac{2}{6}$ il denominatore, e in entrambi i casi il valore cambia.

2. Per quale numero devi moltiplicare i due termini di $\frac{1}{4}$ per ottenere 12 al denominatore?

   • A $8$
   • B $12$
   • C $4$
   • D $3$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. $3$

   Il fattore si trova chiedendosi per quanto va moltiplicato il denominatore attuale: $4·3=12$, quindi il fattore è 3 e la frazione diventa $\frac{3}{12}$. Chi risponde $8$ ha calcolato la differenza $12-4$, ma l'espansione è una moltiplicazione, non un'addizione.

3. Espandi $\frac{3}{4}$ in modo che abbia 12 al denominatore. Che frazione ottieni?

   • A $\frac{9}{12}$
   • B $\frac{3}{12}$
   • C $\frac{12}{16}$
   • D $\frac{7}{12}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: A. $\frac{9}{12}$

   Il fattore è 3, perché $4·3=12$, e va applicato anche sopra: $3·3=9$, quindi si ottiene $\frac{9}{12}$. Chi risponde $\frac{3}{12}$ ha moltiplicato solo il denominatore e ha lasciato fermo il numeratore, ottenendo una frazione più piccola.

4. Che cosa succede se moltiplichi per 2 soltanto il numeratore di $\frac{3}{5}$?

   • A Ottieni una frazione equivalente, perché moltiplicando il valore non cambia mai
   • B Ottieni $\frac{6}{5}$, che è un'altra frazione con un valore diverso
   • C Ottieni $\frac{6}{10}$, perché il denominatore raddoppia da solo
   • D Non si può fare: il numeratore da solo non si moltiplica
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. Ottieni $\frac{6}{5}$, che è un'altra frazione con un valore diverso

   Moltiplicando solo sopra si ottiene $\frac{6}{5}$, che vale il doppio di $\frac{3}{5}$ e supera perfino 1, mentre $\frac{3}{5}$ è minore di 1. L'espansione conserva il valore solo se il fattore agisce su tutti e due i termini.

5. Espandi $\frac{2}{3}$ fino ad avere 15 al denominatore. Quale numeratore ottieni?

   • A $5$
   • B $2$
   • C $12$
   • D $10$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. $10$

   Il denominatore passa da 3 a 15, quindi il fattore è 5, perché $3·5=15$. Lo stesso fattore va applicato al numeratore: $2·5=10$, quindi la frazione è $\frac{10}{15}$. Chi risponde $5$ ha scritto il fattore al posto del numeratore.

6. Perché il fattore di espansione non può essere zero?

   • A Perché numeratore e denominatore diventerebbero entrambi zero, e $\frac{0}{0}$ non indica nessuna quantità
   • B Perché zero non è un numero naturale
   • C Perché la frazione diventerebbe uguale a 1
   • D Perché il denominatore resterebbe uguale a prima
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: A. Perché numeratore e denominatore diventerebbero entrambi zero, e $\frac{0}{0}$ non indica nessuna quantità

   Moltiplicando per zero si otterrebbe $\frac{0}{0}$: un denominatore zero vorrebbe dire dividere l'intero in zero parti, che non ha senso. Per tutti gli altri numeri naturali, invece, l'espansione funziona sempre.

7. $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8}$ e $\frac{15}{20}$ colorano la stessa porzione dello stesso modello. Come si chiamano fra loro queste tre frazioni?

   • A Complementari
   • B Equivalenti
   • C Apparenti
   • D Improprie
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. Equivalenti

   Frazioni scritte con numeri diversi che indicano la stessa parte dell'intero si dicono equivalenti. Complementari sono invece due frazioni che sommate ricompongono l'intero, come $\frac{1}{4}$ e $\frac{3}{4}$: è un'altra relazione.

8. Espandi $\frac{5}{6}$ fino ad avere 20 al numeratore. Quale denominatore ottieni?

   • A $18$
   • B $30$
   • C $24$
   • D $26$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. $24$

   Il numeratore passa da 5 a 20, quindi il fattore è 4, perché $5·4=20$. Applicato sotto dà $6·4=24$, quindi la frazione è $\frac{20}{24}$. Chi risponde $26$ ha sommato il nuovo numeratore al vecchio denominatore, $6+20$, invece di moltiplicare per il fattore.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.