Matematica · 1ª media · Lezione 7 di 10

Frazioni equivalenti: la riduzione

Dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero e ridurre una frazione ai minimi termini.

Teoria in pillole

La riduzione è il procedimento inverso dell'espansione: dividi numeratore e denominatore per lo stesso divisore comune maggiore di 1. La scrittura diventa più semplice, mentre il valore della frazione resta invariato.

Riduzione a tappe

$\frac{36}{60} = \frac{18}{30} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

si divide prima per 2, ancora per 2 e poi per 3

Riduzione con il M.C.D.

Il M.C.D. di $36$ e $60$ è $12$ .

$36 : 12 = 3$

$60 : 12 = 5$

dividendo subito per il massimo comun divisore si ottiene 3 quinti

Il divisore scelto deve dividere esattamente sia il numeratore sia il denominatore.
Una frazione è ridotta ai minimi termini quando i due termini hanno come unico divisore comune $1$ .
La riduzione a tappe e quella con il M.C.D. portano allo stesso risultato finale.
Per controllare $\frac{36}{60} = \frac{3}{5}$ , puoi espandere $\frac{3}{5}$ per $12$ e tornare a $\frac{36}{60}$ .

Ridurre significa dividere, non sottrarre. Da $\frac{8}{12}$ si ottiene $\frac{2}{3}$ dividendo entrambi i termini per $4$ ; sottrarre $4$ cambierebbe il valore.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Costruisci una frazione (PhET, sito esterno): Prova a ricostruire una frazione usando meno parti ma della stessa estensione complessiva e osserva come emerge la forma ridotta.
Confronto di frazioni (PhET, sito esterno): Prova a cercare la scrittura più semplice tra più frazioni abbinate alla stessa figura e osserva come numeratore e denominatore diminuiscono insieme.
Frazioni: Equivalenza (PhET, sito esterno): Prova a dividere entrambi i termini per un fattore comune disponibile e osserva come la porzione rappresentata resta invariata.

Domande

Riduci ai minimi termini la frazione $\frac{8}{12}$ .
- A $\frac{4}{6}$
- B $\frac{2}{4}$
- C $\frac{2}{3}$
- D $\frac{4}{8}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $\frac{2}{3}$
Il massimo comun divisore di 8 e 12 è 4: $8 : 4 = 2$ e $12 : 4 = 3$ , quindi la frazione ridotta è $\frac{2}{3}$ . $\frac{4}{6}$ è ancora equivalente, ma non è ai minimi termini perché 4 e 6 hanno ancora il 2 in comune.
Quale di queste frazioni è già ridotta ai minimi termini?
- A $\frac{6}{9}$
- B $\frac{4}{6}$
- C $\frac{10}{15}$
- D $\frac{3}{5}$
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Risposta giusta: D. $\frac{3}{5}$
In $\frac{3}{5}$ i due numeri non hanno divisori comuni oltre a 1, quindi non si può ridurre oltre. Le altre si riducono tutte a $\frac{2}{3}$ : $\frac{6}{9}$ dividendo per 3, $\frac{4}{6}$ per 2, $\frac{10}{15}$ per 5.
Per quale numero devi dividere i due termini di $\frac{15}{25}$ per ridurla ai minimi termini?
- A $5$
- B $3$
- C $10$
- D $25$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $5$
Il divisore comune di 15 e 25 è 5: $15 : 5 = 3$ e $25 : 5 = 5$ , quindi si ottiene $\frac{3}{5}$ . Chi risponde $10$ ha calcolato la differenza $25 - 15$ , ma la riduzione è una divisione, non una sottrazione.
Riduci ai minimi termini la frazione $\frac{20}{50}$ .
- A $\frac{10}{25}$
- B $\frac{4}{10}$
- C $\frac{2}{5}$
- D $\frac{1}{5}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $\frac{2}{5}$
Il massimo comun divisore di 20 e 50 è 10: $20 : 10 = 2$ e $50 : 10 = 5$ , quindi si ottiene $\frac{2}{5}$ . $\frac{10}{25}$ e $\frac{4}{10}$ sono tappe corrette ma non finite, ottenute dividendo per 2 e per 5; $\frac{1}{5}$ nasce invece dal dividere il numeratore per 20 e il denominatore per 10, cioè da due fattori diversi, e non è nemmeno equivalente.
Che cosa vuol dire che una frazione è ridotta ai minimi termini?
- A Che il numeratore è più piccolo del denominatore
- B Che numeratore e denominatore non hanno divisori comuni oltre a 1
- C Che il denominatore è il numero più piccolo possibile, cioè 2
- D Che la frazione vale meno di 1
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Risposta giusta: B. Che numeratore e denominatore non hanno divisori comuni oltre a 1
Ai minimi termini significa che non c'è più nessun numero, oltre a 1, che divida esattamente sia il numeratore sia il denominatore. Non ha niente a che vedere con il valore della frazione: anche $\frac{7}{3}$ , che vale più di 1, è ai minimi termini.
Uno studente riduce $\frac{8}{12}$ togliendo 4 sopra e 4 sotto, e scrive $\frac{4}{8}$ . Perché è sbagliato?
- A Perché avrebbe dovuto togliere 4 solo al denominatore
- B Perché $\frac{4}{8}$ non si può più ridurre
- C Perché 4 non è un divisore di 12
- D Perché la riduzione si fa dividendo, e $\frac{4}{8}$ vale $\frac{1}{2}$ , non $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: D. Perché la riduzione si fa dividendo, e $\frac{4}{8}$ vale $\frac{1}{2}$ , non $\frac{2}{3}$
Sottraendo si ottiene una frazione di valore diverso: $\frac{8}{12}$ vale $\frac{2}{3}$ , mentre $\frac{4}{8}$ vale $\frac{1}{2}$ . Solo la divisione conserva il valore, perché riduce insieme e nella stessa proporzione le parti prese e le parti totali.
Riduci $\frac{36}{60}$ dividendo prima per 2, poi ancora per 2, poi per 3. Che cosa ottieni?
- A $\frac{3}{5}$ , lo stesso risultato che si ottiene dividendo una volta sola per 12
- B $\frac{9}{15}$ , perché tre divisioni successive non arrivano ai minimi termini
- C Un risultato diverso da quello che si ottiene dividendo per il M.C.D.
- D $\frac{1}{5}$ , perché le divisioni si accumulano
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Risposta giusta: A. $\frac{3}{5}$ , lo stesso risultato che si ottiene dividendo una volta sola per 12
Dividere per 2, poi per 2, poi per 3 equivale a dividere una volta sola per $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ , che è proprio il massimo comun divisore di 36 e 60: si arriva a $\frac{3}{5}$ per tutte e due le strade. Il M.C.D. fa risparmiare passaggi, non cambia il risultato.
Riduci ai minimi termini la frazione $\frac{18}{24}$ .
- A $\frac{9}{12}$
- B $\frac{3}{4}$
- C $\frac{6}{8}$
- D $\frac{12}{18}$
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Risposta giusta: B. $\frac{3}{4}$
Il massimo comun divisore di 18 e 24 è 6: $18 : 6 = 3$ e $24 : 6 = 4$ , quindi si ottiene $\frac{3}{4}$ . $\frac{9}{12}$ e $\frac{6}{8}$ sono tappe intermedie corrette, ottenute dividendo per 2 e per 3; $\frac{12}{18}$ nasce invece dal togliere 6 sopra e sotto, e vale $\frac{2}{3}$ , cioè un numero diverso da quello di partenza.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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