Matematica · 1ª media · Lezione 2 di 10

Intero, unità frazionaria e parti

Calcolare la frazione di un intero e, viceversa, risalire all'intero conoscendo il valore della parte.

Teoria in pillole

Nei problemi con le frazioni bisogna distinguere due domande. Se conosci l'intero, puoi trovare una sua parte; se conosci il valore di alcune parti, puoi risalire all'intero. Il passaggio centrale è sempre trovare quanto vale una sola unità frazionaria.

Dall'intero alla parte

Calcola i tre ottavi di 24.

$24 : 8 = 3$

$3 \cdot 3 = 9$

un ottavo vale 3; tre ottavi valgono 9

Dalla parte all'intero

Due quinti di una quantità valgono 10. Trova l'intero.

$10 : 2 = 5$

$5 \cdot 5 = 25$

se due quinti valgono 10, un quinto vale 5 e cinque quinti valgono 25

Per calcolare $\frac{3}{8}$ di $24$ , dividi l'intero per il denominatore e moltiplica il risultato per il numeratore.
Per ricostruire l'intero da $\frac{2}{5}$ che valgono $10$ , dividi $10$ per il numeratore e moltiplica per il denominatore.
Il controllo del primo problema è $9 : 3 \cdot 8 = 24$ : dalla parte ottenuta si deve poter tornare all'intero.
Con oggetti non divisibili, i dati devono permettere di formare gruppi uguali senza resti.

Nel procedimento inverso il numero dato non è l'intero. Dividere subito per il denominatore porta nella direzione sbagliata: prima dividi per il numeratore per trovare una parte.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Frazioni: Introduzione (PhET, sito esterno): Prova a cambiare il numero di suddivisioni mantenendo intero lo stesso oggetto e osserva come il denominatore conta sempre parti uguali.

Domande

Quanto vale $\frac{3}{8}$ di $24$ ?
- A $3$
- B $72$
- C $9$
- D $8$
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Risposta giusta: C. $9$
Prima si divide per il denominatore, $24 : 8 = 3$ , e si scopre che una parte vale 3. Poi si moltiplica per il numeratore, $3 \cdot 3 = 9$ . Chi risponde $3$ si è fermato all'unità frazionaria, cioè al valore di una sola parte; chi risponde $72$ ha moltiplicato subito $24 \cdot 3$ saltando la divisione, e ha ottenuto tre interi invece di tre ottavi.
In una classe di 24 studenti, $\frac{5}{8}$ cantano nel coro. Quanti studenti sono?
- A $15$
- B $3$
- C $19$
- D $40$
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Risposta giusta: A. $15$
Una parte vale $24 : 8 = 3$ studenti, e le parti da prendere sono 5: $3 \cdot 5 = 15$ . Chi risponde $19$ ha calcolato $24 - 5$ trattando il numeratore come un numero di studenti, mentre il numeratore conta parti, non persone.
Un salvadanaio contiene 12 monete e $\frac{2}{3}$ sono monete da 1 euro. Quante sono le monete da 1 euro?
- A $4$
- B $6$
- C $36$
- D $8$
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Risposta giusta: D. $8$
Una parte vale $12 : 3 = 4$ monete, e le parti da prendere sono 2: $4 \cdot 2 = 8$ . Chi risponde $4$ si è fermato a una parte sola; chi risponde $36$ ha moltiplicato per il denominatore invece di dividere, che è il procedimento del problema girato.
Giulia ha speso un terzo dei suoi soldi, cioè 5 euro. Quanti soldi aveva prima delle spese?
- A 10 euro
- B 15 euro
- C 8 euro
- D 3 euro
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Risposta giusta: B. 15 euro
Qui il numero dato è una parte, non l'intero: 5 euro sono $\frac{1}{3}$ , quindi l'intero vale $5 \cdot 3 = 15$ euro. Chi risponde 8 euro ha sommato la parte spesa e il denominatore, due numeri che non si possono sommare perché uno conta euro e l'altro conta parti.
Alessio ha speso un terzo dei suoi soldi e gliene sono rimasti 12. Quanti soldi aveva prima?
- A 18 euro
- B 36 euro
- C 16 euro
- D 24 euro
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Risposta giusta: A. 18 euro
I 12 euro rimasti non sono l'intero e non sono nemmeno un terzo: sono i due terzi che avanzano. Quindi $\frac{1}{3}$ vale $12 : 2 = 6$ euro e l'intero vale $6 \cdot 3 = 18$ euro. Chi risponde 36 euro ha trattato i 12 euro come se fossero un terzo, senza accorgersi che la parte rimasta è il doppio.
Per calcolare $\frac{5}{6}$ di $36$ , quale sequenza di operazioni è quella giusta?
- A Moltiplicare 36 per 6, poi dividere per 5
- B Dividere 36 per 5, poi moltiplicare per 6
- C Dividere 36 per 6, poi moltiplicare per 5
- D Sommare 5 e 6, poi dividere 36 per il risultato
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Risposta giusta: C. Dividere 36 per 6, poi moltiplicare per 5
Si divide sempre per il denominatore, che dice in quante parti tagliare, e si moltiplica per il numeratore, che dice quante parti prendere: $36 : 6 = 6$ e poi $6 \cdot 5 = 30$ . Invertire i due numeri, come nella seconda risposta, taglia l'intero nel numero sbagliato di parti.
Chiara ha comprato delle focaccine. Dopo averne mangiato $\frac{1}{4}$ , gliene restano 12. Quante focaccine aveva comprato?
- A $48$
- B $16$
- C $15$
- D $3$
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Risposta giusta: B. $16$
Le 12 focaccine rimaste sono i tre quarti, perché un quarto è già stato mangiato. Allora $\frac{1}{4}$ vale $12 : 3 = 4$ e l'intero vale $4 \cdot 4 = 16$ . Chi risponde $48$ ha moltiplicato 12 per il denominatore trattando le focaccine rimaste come un quarto invece che come tre quarti.
Di una collezione, $\frac{3}{5}$ delle figurine sono doppie: sono 18. Quante figurine ha la collezione?
- A $90$
- B $6$
- C $23$
- D $30$
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Risposta giusta: D. $30$
Le 18 figurine sono tre parti su cinque, quindi una parte vale $18 : 3 = 6$ e l'intero vale $6 \cdot 5 = 30$ . Chi risponde $90$ ha moltiplicato subito per il denominatore saltando il passaggio dell'unità frazionaria; chi risponde $6$ si è fermato proprio a quel passaggio.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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