Matematica · 1ª media · Lezione 10 di 10

Problemi risolvibili con un modello

Usare il modello a segmenti per risolvere problemi con rapporti e frazioni.

Teoria in pillole

Nei problemi di rapporto, un modello a caselle uguali trasforma ogni termine del rapporto in un numero di caselle. Prima si trova il valore di una casella, poi si ricostruiscono le quantità richieste.

È noto il totale

Dividi 60 euro nel rapporto $1 : 3$ .

$1 + 3 = 4$

$60 : 4 = 15$

$15 \cdot 1 = 15$

$15 \cdot 3 = 45$

le quattro caselle valgono 15 euro ciascuna; le due somme sono 15 euro e 45 euro. Controllo: 15 + 45 = 60.

È nota la differenza

Due quantità sono nel rapporto $3 : 5$ e differiscono di 24.

$5 - 3 = 2$

$24 : 2 = 12$

$12 \cdot 3 = 36$

$12 \cdot 5 = 60$

le due caselle di differenza valgono 24, quindi una vale 12. Le quantità sono 36 e 60. Controllo: 60 - 36 = 24.

Se conosci il totale, dividi per tutte le caselle del rapporto.
Se conosci la differenza, dividi per le caselle che una barra ha in più dell'altra.
Moltiplica il valore di una casella per il numero di caselle di ciascuna quantità.
Controlla con il dato iniziale: somma nel primo caso, differenza nel secondo, e in entrambi i casi verifica il rapporto.

Non dividere sempre per la somma dei termini del rapporto. La somma serve quando conosci il totale; quando conosci la differenza, devi contare soltanto le caselle di scarto.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Problemi risolvibili con un modello

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Domande

Matteo e Pietro dividono 60 euro nel rapporto $1 : 3$ . Quanto riceve ciascuno?
- A Matteo 20 euro e Pietro 40 euro
- B Matteo 30 euro e Pietro 30 euro
- C Matteo 45 euro e Pietro 15 euro
- D Matteo 15 euro e Pietro 45 euro
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Risposta giusta: D. Matteo 15 euro e Pietro 45 euro
Le caselle sono $1 + 3 = 4$ , quindi una casella vale $60 : 4 = 15$ euro: Matteo ne prende una, cioè 15 euro, e Pietro tre, cioè $15 \cdot 3 = 45$ euro. Chi risponde 20 e 40 ha diviso per 3 invece che per 4.
Nel rapporto $4 : 5$ , quante caselle ci sono in tutto sul modello?
- A $9$
- B $5$
- C $4$
- D $20$
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Risposta giusta: A. $9$
Le caselle sono la somma dei due termini: $4 + 5 = 9$ . È il numero per cui si divide il totale, e dimenticarlo è l'errore che manda fuori strada tutto il resto del problema.
Giulia e Anna hanno fatto 36 canestri in tutto, nel rapporto $4 : 5$ . Quanti ne ha fatti ciascuna?
- A Giulia 4 e Anna 5
- B Giulia 16 e Anna 20
- C Giulia 20 e Anna 16
- D Giulia 18 e Anna 18
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Risposta giusta: B. Giulia 16 e Anna 20
Le caselle sono $4 + 5 = 9$ e una casella vale $36 : 9 = 4$ canestri. Giulia ne ha quattro caselle, $4 \cdot 4 = 16$ , e Anna cinque, $4 \cdot 5 = 20$ . Il controllo è la somma: $16 + 20 = 36$ .
Giulia e Anna hanno fatto 36 canestri nel rapporto $4 : 5$ . Che frazione di tutti i canestri ha fatto Giulia?
- A $\frac{4}{5}$
- B $\frac{5}{9}$
- C $\frac{4}{9}$
- D $\frac{1}{2}$
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Risposta giusta: C. $\frac{4}{9}$
Giulia ha quattro caselle sulle nove totali, quindi $\frac{4}{9}$ dei canestri. Si può controllare dai numeri: $\frac{16}{36}$ , ridotto per 4, dà proprio $\frac{4}{9}$ . La risposta $\frac{4}{5}$ è il rapporto fra le due ragazze, non la frazione sul totale.
In una fattoria pecore e mucche stanno nel rapporto $5 : 3$ , e le pecore sono 30 più delle mucche. Quante sono le mucche?
- A $18$
- B $45$
- C $75$
- D $15$
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Risposta giusta: B. $45$
Qui il testo dà una differenza, non un totale: le 30 pecore in più corrispondono alle $5 - 3 = 2$ caselle che avanzano, quindi una casella vale $30 : 2 = 15$ animali. Le mucche sono tre caselle: $15 \cdot 3 = 45$ .
Due quantità stanno nel rapporto $5 : 3$ e la prima supera la seconda di 30. A quante caselle del modello corrispondono quei 30?
- A A $8$ caselle, cioè a tutte
- B A $3$ caselle
- C A $5$ caselle
- D A $2$ caselle
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Risposta giusta: D. A $2$ caselle
La differenza fra le due quantità è la differenza fra le caselle: $5 - 3 = 2$ . È il passaggio che distingue i problemi con la differenza da quelli con il totale, dove invece si divide per la somma delle caselle.
Due amici dividono 45 euro nel rapporto $2 : 3$ . Quanto riceve ciascuno?
- A 20 euro e 25 euro
- B 15 euro e 30 euro
- C 18 euro e 27 euro
- D 22 euro e 23 euro
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Risposta giusta: C. 18 euro e 27 euro
Le caselle sono $2 + 3 = 5$ e una casella vale $45 : 5 = 9$ euro: il primo riceve $9 \cdot 2 = 18$ euro e il secondo $9 \cdot 3 = 27$ euro. Il controllo è la somma: $18 + 27 = 45$ .
Uno studente deve dividere 60 euro nel rapporto $1 : 3$ e calcola $60 : 3 = 20$ . Che errore ha fatto?
- A Ha diviso per il secondo termine invece che per il numero totale di caselle, che è 4
- B Ha usato la differenza fra i termini invece della somma
- C Nessun errore: $1 : 3$ significa dividere per 3
- D Ha dimenticato di moltiplicare il risultato per il primo termine
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Risposta giusta: A. Ha diviso per il secondo termine invece che per il numero totale di caselle, che è 4
Il 3 è il numero di caselle di uno solo dei due, mentre il totale da dividere si distribuisce su tutte le caselle, che sono $1 + 3 = 4$ . Il disegno lo mostra subito: sotto i 60 euro ci sono quattro caselle, non tre.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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