Matematica · 1ª media · Lezione 9 di 10

La frazione come rapporto

La frazione come confronto fra due quantità: leggere, scrivere e usare i rapporti.

Teoria in pillole

Un rapporto confronta due quantità nello stesso ordine in cui vengono nominate. Se sono grandezze della stessa specie, devono essere espresse nella stessa unità di misura. Qui il rapporto tra le due quantità si scrive con i due punti; la frazione di una parte rispetto al totale si calcola invece sommando tutte le parti.

Confronto tra due parti

La prima quantità è formata da 2 parti e la seconda da 3 parti.

$2 : 3$

per ogni due parti della prima quantità ci sono tre parti della seconda

Parte rispetto al totale

Quale frazione del totale rappresenta la prima quantità?

$2 + 3 = 5$

$\frac{2}{5}$

le parti totali sono cinque; la prima quantità rappresenta due quinti del totale

Rapporto ridotto

$72 : 32 = 9 : 4$ $\frac{72}{32} = \frac{9}{4}$

entrambi i termini sono divisi per 8

L'ordine conta: $2 : 3$ e $3 : 2$ descrivono confronti diversi.
Prima di confrontare due misure della stessa grandezza, trasformale nella stessa unità.
Un rapporto si riduce dividendo entrambi i termini per lo stesso divisore comune.
Per trasformare un rapporto parte a parte in una frazione del totale, somma tutte le parti del rapporto.

Nel rapporto $2 : 3$ , la prima quantità rappresenta $\frac{2}{5}$ del totale, perché il totale è formato da $2 + 3 = 5$ parti.

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Domande

Gioele ha 20 euro e Anna ne ha 10. Qual è il rapporto fra i soldi di Gioele e quelli di Anna?
- A $1 : 2$
- B $20 : 1$
- C $1 : 10$
- D $2 : 1$
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Risposta giusta: D. $2 : 1$
Gioele ha il doppio, quindi il rapporto è $2 : 1$ . Il rapporto $1 : 2$ è quello opposto, fra i soldi di Anna e quelli di Gioele: l'ordine dei termini segue l'ordine in cui la domanda nomina le due quantità.
Gioele ha 20 euro e Anna ne ha 10. Qual è il rapporto fra i soldi di Anna e il totale dei due?
- A $1 : 2$
- B $10 : 20$
- C $1 : 3$
- D $2 : 3$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $1 : 3$
Il totale è $20 + 10 = 30$ euro, quindi il rapporto è $10 : 30$ , che ridotto ai minimi termini dà $1 : 3$ : Anna ha un terzo del totale. Chi risponde $1 : 2$ ha confrontato Anna con Gioele invece che con il totale.
Per una tonalità di verde si mescolano vernice blu e gialla nel rapporto $1 : 3$ . Che frazione della vernice verde è blu?
- A $\frac{1}{4}$
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{3}{4}$
- D $\frac{1}{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $\frac{1}{4}$
Il rapporto $1 : 3$ confronta il blu con il giallo, non con il totale: le parti sono $1 + 3 = 4$ , quindi il blu è $\frac{1}{4}$ della vernice. Rispondere $\frac{1}{3}$ è l'errore tipico, cioè leggere un rapporto fra due parti come se fosse una frazione del tutto.
Esprimi nella forma più semplice il rapporto fra i numeri 72 e 32.
- A $36 : 16$
- B $9 : 4$
- C $2 : 1$
- D $18 : 8$
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Risposta giusta: B. $9 : 4$
Il massimo comun divisore di 72 e 32 è 8: $72 : 8 = 9$ e $32 : 8 = 4$ , quindi il rapporto è $9 : 4$ . Le altre risposte sono riduzioni corrette ma non arrivate ai minimi termini, tranne $2 : 1$ , che non vale quanto il rapporto di partenza.
Esprimi nella forma più semplice il rapporto fra i numeri 42 e 70.
- A $6 : 10$
- B $21 : 35$
- C $5 : 3$
- D $3 : 5$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $3 : 5$
Il massimo comun divisore di 42 e 70 è 14: $42 : 14 = 3$ e $70 : 14 = 5$ , quindi il rapporto è $3 : 5$ . La risposta $5 : 3$ ha i numeri giusti ma nell'ordine sbagliato, e descrive il confronto opposto.
I rapporti $1 : 2$ e $2 : 1$ dicono la stessa cosa?
- A Sì, perché contengono gli stessi due numeri
- B No: il primo dice che la prima quantità è la metà della seconda, il secondo che è il doppio
- C Sì, perché entrambi si riducono a $1 : 1$
- D No, ma solo quando i due numeri sono diversi fra loro
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. No: il primo dice che la prima quantità è la metà della seconda, il secondo che è il doppio
In un rapporto l'ordine dei termini è parte del significato: $1 : 2$ dice che la prima quantità sta alla seconda come 1 sta a 2, cioè è la metà, mentre $2 : 1$ dice il contrario. Scambiare i termini capovolge il confronto.
Per fare 24 litri di verde con blu e giallo nel rapporto $1 : 3$ , quanti litri di giallo servono?
- A $18$ litri
- B $8$ litri
- C $12$ litri
- D $6$ litri
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Risposta giusta: A. $18$ litri
Le parti in tutto sono 4, quindi una parte vale $24 : 4 = 6$ litri. Il giallo è tre parti: $6 \cdot 3 = 18$ litri, e il blu è una parte, cioè 6 litri. Chi risponde $8$ litri ha diviso per 3 invece che per 4, dimenticando che le parti sono quattro.
Perché le due quantità di un rapporto devono essere espresse nella stessa unità di misura?
- A Perché altrimenti il rapporto sarebbe sempre maggiore di 1
- B Perché i rapporti si scrivono solo fra numeri interi
- C Perché il rapporto è un confronto, e confrontare 2 metri con 50 centimetri dà un numero che dipende dall'unità scelta
- D Perché le unità di misura non si possono semplificare
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Risposta giusta: C. Perché il rapporto è un confronto, e confrontare 2 metri con 50 centimetri dà un numero che dipende dall'unità scelta
Un rapporto dice quante volte una quantità sta nell'altra, e questo numero ha senso solo se le due quantità sono misurate allo stesso modo: 2 m e 50 cm stanno in rapporto $4 : 1$ , non $2 : 50$ . Prima si portano alla stessa unità, poi si confronta.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle frazioni della Palestra di Aritmetica: modelli, quoziente, classificazione, equivalenza, confronto e problemi.

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