Matematica · 1ª media · Lezione 9 di 9

Espressioni con le potenze 2

Calcolare espressioni con più potenze applicando le proprietà delle potenze per semplificare prima di eseguire i calcoli, rispettando l'ordine delle operazioni.

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Teoria in pillole

Un'espressione con le potenze è un calcolo in cui compaiono più potenze legate da moltiplicazioni, divisioni, addizioni o sottrazioni, spesso dentro parentesi: le proprietà delle potenze permettono di sommare o sottrarre gli esponenti al posto di calcolare ogni potenza per intero, ma solo se le basi sono uguali.

$2^{7} : 2^{4} = 2^{3}$

stessa base: si sottraggono gli esponenti, evitando di calcolare

2^{7}

2^{4}

per intero

Le proprietà valgono solo fra potenze con la stessa base: se le basi sono diverse, ogni potenza va calcolata a parte.
Dentro le parentesi si calcola per primo; fuori, prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni.
Sommare o sottrarre gli esponenti funziona solo se le potenze sono legate da moltiplicazione o divisione, mai da addizione o sottrazione.

$4^{2} + 4^{3}$ non vale $4^{5} = 1024$ : si calcolano le due potenze e poi si sommano, $16 + 64 = 80$ .

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Mappa mentale: Espressioni con le potenze 2

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Domande

Quale proprietà permette di scrivere $5^{8} : 5^{3}$ come un'unica potenza?
- A È il prodotto di potenze con la stessa base: si sommano gli esponenti $8 + 3 = 11$ , quindi $5^{11}$ .
- B È la potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti $8 \cdot 3 = 24$ , quindi $5^{24}$ .
- C È il quoziente di potenze con la stessa base: si sottraggono gli esponenti $8 - 3 = 5$ , quindi $5^{5}$ .
- D Non si può semplificare, perché gli esponenti $8$ e $3$ sono diversi.
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Risposta giusta: C. È il quoziente di potenze con la stessa base: si sottraggono gli esponenti $8 - 3 = 5$ , quindi $5^{5}$ .
È un quoziente di potenze con la stessa base, quindi si sottraggono gli esponenti: $8 - 3 = 5$ , cioè $5^{5}$ . Chi sceglie $5^{11}$ applica la regola del prodotto (si sommano gli esponenti) invece di quella del quoziente; chi sceglie $5^{24}$ applica la regola della potenza di potenza (si moltiplicano gli esponenti), che qui non c'entra; chi risponde che non si può semplificare confonde la condizione giusta, basi uguali, con esponenti uguali.
Quanto vale $3^{6} : 3^{2}$ ?
- A $81$
- B $6561$
- C $27$
- D $720$
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Risposta giusta: A. $81$
Stessa base: si sottraggono gli esponenti, $6 - 2 = 4$ , quindi $3^{4} = 81$ . Chi risponde $6561$ ha sommato gli esponenti ( $6 + 2 = 8$ , $3^{8}$ ) invece di sottrarli. Chi risponde $27$ ha diviso gli esponenti ( $6 : 2 = 3$ , $3^{3}$ ) invece di sottrarli. Chi risponde $720$ ha calcolato $3^{6} - 3^{2} = 729 - 9$ , sottraendo le potenze intere invece di dividerle.
Nell'espressione $2 + 3^{2} \cdot 4$ , quale operazione va eseguita per prima?
- A $3^{2} = 9$ , perché le potenze hanno la precedenza su moltiplicazioni e addizioni.
- B $2 + 3 = 5$ , perché si legge l'espressione da sinistra a destra.
- C $3 \cdot 4 = 12$ , perché moltiplicazione e potenza hanno la stessa precedenza.
- D Si parte da destra, quindi prima $4$ .
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Risposta giusta: A. $3^{2} = 9$ , perché le potenze hanno la precedenza su moltiplicazioni e addizioni.
Nell'ordine delle operazioni le potenze vengono prima di moltiplicazioni, divisioni, addizioni e sottrazioni, quindi si calcola $3^{2} = 9$ per primo. Chi calcola $2 + 3$ per primo legge l'espressione da sinistra a destra ignorando le precedenze. Chi calcola $3 \cdot 4$ per primo confonde la precedenza della potenza con quella della moltiplicazione, che vengono invece dopo. Chi parte da destra non segue nessuna regola valida di calcolo.
Quanto vale ${(2 + 3)}^{2}$ ?
- A $13$
- B $25$
- C $11$
- D $10$
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Risposta giusta: B. $25$
Dentro la parentesi si calcola prima la somma, $2 + 3 = 5$ , poi si eleva al quadrato: $5^{2} = 25$ . Chi risponde $13$ ha calcolato $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9$ , come se il quadrato si distribuisse sui due addendi separatamente. Chi risponde $11$ ha elevato al quadrato solo il secondo numero, $2 + 3^{2} = 2 + 9$ . Chi risponde $10$ ha moltiplicato la somma per l'esponente invece di elevarla a potenza, $(2 + 3) \cdot 2$ .
Per calcolare $6^{5} : (6^{3} : 6^{1})$ conviene prima semplificare la parte fra parentesi, $6^{3} : 6^{1}$ . Quanto vale?
- A $1296$
- B $36$
- C $216$
- D $210$
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Risposta giusta: B. $36$
Stessa base: si sottraggono gli esponenti, $3 - 1 = 2$ , quindi $6^{2} = 36$ . Chi risponde $1296$ ha sommato gli esponenti ( $3 + 1 = 4$ , $6^{4}$ ) come nel prodotto di potenze. Chi risponde $216$ ha lasciato $6^{3}$ invariato, come se dividere per $6^{1}$ non cambiasse l'esponente. Chi risponde $210$ ha calcolato $6^{3} - 6^{1} = 216 - 6$ , sottraendo le potenze intere invece di dividerle.
Marco scrive $4^{2} + 4^{3} = 4^{5}$ . Qual è il suo errore?
- A Nessuno: la regola è corretta.
- B Ha sbagliato a sommare gli esponenti: dovevano moltiplicarli, $2 \cdot 3 = 6$ , quindi $4^{6}$ .
- C Ha sbagliato base: doveva sommare anche le basi, $4 + 4 = 8$ , quindi $8^{5}$ .
- D La regola di sommare gli esponenti vale solo per il prodotto di potenze: qui c'è un'addizione, quindi si calcolano le due potenze e si sommano i risultati, $16 + 64 = 80$ .
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Risposta giusta: D. La regola di sommare gli esponenti vale solo per il prodotto di potenze: qui c'è un'addizione, quindi si calcolano le due potenze e si sommano i risultati, $16 + 64 = 80$ .
Sommare gli esponenti è la regola del prodotto di potenze con la stessa base, ma qui le due potenze sono legate da un'addizione, quindi vanno calcolate separatamente e poi sommate: $4^{2} = 16$ , $4^{3} = 64$ , totale $80$ . Chi dice che non c'è errore accetta di applicare la regola del prodotto a un'addizione. Chi moltiplica gli esponenti confonde la regola con quella della potenza di potenza, che qui non c'entra. Chi somma le basi inventa una regola che non esiste.
Quanto vale ${(3^{2})}^{3}$ ?
- A $243$
- B $9$
- C $27$
- D $729$
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Risposta giusta: D. $729$
È una potenza di potenza: si moltiplicano gli esponenti, $2 \cdot 3 = 6$ , quindi $3^{6} = 729$ . Chi risponde $243$ ha sommato gli esponenti ( $2 + 3 = 5$ , $3^{5}$ ) come nel prodotto di potenze. Chi risponde $9$ ha calcolato solo la potenza interna, $3^{2}$ , dimenticando l'esponente esterno. Chi risponde $27$ ha calcolato $3^{2} = 9$ e poi moltiplicato per l'esponente $3$ invece di elevare a potenza, $9 \cdot 3$ .
Quanto vale $2^{5} : 2^{3} + 4^{2}$ ?
- A $4$
- B $272$
- C $20$
- D $40$
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Risposta giusta: C. $20$
Si calcola prima il quoziente di potenze, $5 - 3 = 2$ , quindi $2^{2} = 4$ ; poi si somma $4^{2} = 16$ : $4 + 16 = 20$ . Chi risponde $4$ ha dimenticato di aggiungere $4^{2}$ , fermandosi al primo pezzo. Chi risponde $272$ ha sommato gli esponenti del quoziente ( $5 + 3 = 8$ , $2^{8} = 256$ ) e poi ha aggiunto $16$ . Chi risponde $40$ ha sottratto le potenze intere invece di dividerle, $32 - 8 = 24$ , e poi ha aggiunto $16$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.

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