Matematica · 1ª media · Lezione 8 di 9

Esponente zero

Riconoscere che una base diversa da zero elevata a zero vale sempre uno, e che 0 alla 0 resta un caso senza un valore definito.

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Teoria in pillole

Quando una potenza ha esponente zero, il suo valore è sempre $1$ , qualunque sia la base: l'unica condizione è che la base non sia $0$ , perché $0^{0}$ non ha significato.

$a^{3} : a^{3} = a^{3 - 3} = a^{0} = 1$

dividere una potenza per se stessa dà come risultato

1

, e lo stesso calcolo fatto con la proprietà delle potenze produce un esponente

0

: le due strade devono coincidere

Una base diversa da $0$ elevata a $0$ vale sempre $1$ : $7^{0} = 1$ , $125^{0} = 1$ , $a^{0} = 1$ .
Non conta quanto è grande o piccola la base, solo che non sia $0$ .
Appena riconosci un esponente $0$ in un calcolo, sostituiscilo subito con $1$ senza altri passaggi.

$0^{0}$ non vale $1$ : la regola dell'esponente zero richiede una base diversa da $0$ , quindi $0^{0}$ non ha un valore definito.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

Quanto vale $7^{0}$ ?
- A $0$
- B $1$
- C $7$
- D non è definito
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Risposta giusta: B. $1$
Qualunque base diversa da $0$ elevata a $0$ vale $1$ : $7^{0} = 1$ . Chi risponde $0$ confonde l'esponente $0$ con il risultato, come se elevare a zero azzerasse il numero. Chi risponde $7$ pensa che l'esponente $0$ lasci la base invariata, come fa invece l'esponente $1$ . Chi risponde che non è definito applica alla base $7$ la condizione che vale solo per $0^{0}$ .
Quanto vale ${(4 + 3)}^{0}$ ?
- A $0$
- B $1$
- C $7$
- D $2$
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Risposta giusta: B. $1$
La base è l'intera parentesi $(4 + 3)$ , cioè $7$ , diversa da $0$ : quindi ${(4 + 3)}^{0} = 1$ . Chi risponde $7$ dimentica di applicare l'esponente e lascia il valore della parentesi. Chi risponde $2$ distribuisce l'esponente su ogni addendo, come se valesse $4^{0} + 3^{0} = 1 + 1 = 2$ , ma la potenza non si distribuisce sulla somma. Chi risponde $0$ pensa che l'esponente $0$ azzeri il risultato.
Quanto vale $12^{0} \cdot 5$ ?
- A $0$
- B $60$
- C $5$
- D $1$
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Risposta giusta: C. $5$
$12^{0} = 1$ , quindi $12^{0} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$ . Chi risponde $60$ non applica l'esponente e usa $12$ al posto di $1$ , calcolando $12 \cdot 5$ . Chi risponde $0$ pensa che l'esponente $0$ azzeri tutto il prodotto. Chi risponde $1$ si ferma al calcolo di $12^{0}$ e dimentica di moltiplicare per $5$ .
Quanto vale $0^{0}$ ?
- A $0$
- B $1$
- C nessuna potenza con base $0$ esiste
- D non ha un valore definito
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Risposta giusta: D. non ha un valore definito
La regola dell'esponente zero vale solo se la base è diversa da $0$ : per $0^{0}$ non c'è un valore definito. Chi risponde $1$ applica la regola generale $a^{0} = 1$ senza controllare la condizione sulla base. Chi risponde $0$ applica invece la regola secondo cui $0$ elevato a un esponente vale $0$ , valida solo per esponenti maggiori di $0$ . Chi dice che nessuna potenza con base $0$ esiste confonde questo caso limite con l'assenza generale della potenza, mentre $0$ elevato a esponenti positivi è definito: per esempio $0^{3} = 0$ .
Quanto vale $9^{4} : 9^{4}$ ?
- A $0$
- B $9$
- C $1$
- D $9^{8}$
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Risposta giusta: C. $1$
$9^{4} : 9^{4} = 9^{4 - 4} = 9^{0} = 1$ , coerente col fatto che un numero diviso per se stesso vale sempre $1$ . Chi risponde $9^{8}$ somma gli esponenti $4 + 4$ come se fosse una moltiplicazione di potenze, non una divisione. Chi risponde $9$ calcola giusto l'esponente $4 - 4 = 0$ ma poi pensa che $9^{0}$ lasci la base invariata. Chi risponde $0$ confonde l'esponente $0$ con il risultato della potenza.
Quanto vale $2^{3} : 2^{3} + 5^{0}$ ?
- A $0$
- B $1$
- C $9$
- D $2$
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Risposta giusta: D. $2$
$2^{3} : 2^{3} = 2^{0} = 1$ e $5^{0} = 1$ , quindi la somma vale $1 + 1 = 2$ . Chi risponde $9$ non semplifica $2^{3} : 2^{3}$ e lo sostituisce con $8$ , ottenendo $8 + 1 = 9$ . Chi risponde $1$ calcola giusto il primo termine ma pensa che $5^{0} = 0$ , ottenendo $1 + 0 = 1$ . Chi risponde $0$ applica $a^{0} = 0$ a entrambi i termini.
Quale di queste potenze vale $1$ ?
- A $15^{0}$
- B $0^{7}$
- C $0^{0}$
- D $15^{1}$
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Risposta giusta: A. $15^{0}$
$15^{0} = 1$ perché la base $15$ è diversa da $0$ . $0^{7}$ vale $0$ : qui è la base a essere $0$ , non l'esponente, quindi la regola dell'esponente zero non si applica. $0^{0}$ non ha un valore definito, perché servirebbe insieme una base diversa da $0$ e un esponente $0$ . $15^{1}$ vale $15$ : l'esponente qui è $1$ , non $0$ , quindi la base resta invariata.
Se $a \neq 0$ , quanto vale $a^{0} \cdot a^{0} \cdot a^{0}$ ?
- A $1$
- B $0$
- C $3$
- D $a^{3}$
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Risposta giusta: A. $1$
$a^{0} = 1$ per ciascun fattore, quindi $a^{0} \cdot a^{0} \cdot a^{0} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ . Chi risponde $a^{3}$ conta i tre fattori e li trasforma in un nuovo esponente, come se ogni fattore valesse $a^{1}$ invece di $1$ . Chi risponde $3$ commette un errore simile ma dimentica la base, contando solo il numero di fattori. Chi risponde $0$ pensa che l'esponente $0$ renda nullo ogni fattore.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.

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