Le potenze · 1ª media · Officina Didattica

Di che cosa parla il capitolo

Una potenza è la scrittura compatta di una moltiplicazione con tutti i fattori uguali fra loro: vale anche quando l'esponente è $1$ o $0$ , casi che spesso si dimenticano.

Che cos'è una potenza, e i casi speciali quadrato e cubo di un numero
Come calcolare un'espressione che mescola potenze, moltiplicazioni e addizioni rispettando l'ordine giusto
Come scrivere i numeri molto grandi come potenze di dieci
Le proprietà che permettono di moltiplicare, dividere ed elevare potenze senza riscrivere tutti i fattori, anche quando la base è una lettera

Alla fine del capitolo saprai trasformare un'espressione con più potenze in un unico numero, o in un'unica potenza, usando le proprietà al posto del calcolo lungo.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.

Quiz di fine capitolo

Qual è il cubo di $4$ ?
- A $16$
- B $64$
- C $256$
- D $12$
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Risposta giusta: B. $64$
Il cubo di un numero è quel numero moltiplicato per se stesso tre volte: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ . Chi risponde $16$ ha calcolato il quadrato ( $4^{2}$ ) invece del cubo. Chi risponde $256$ ha moltiplicato quattro fattori invece di tre ( $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ ). Chi risponde $12$ ha moltiplicato la base per l'esponente ( $4 \cdot 3$ ) invece di elevare a potenza.
Quale esponente $n$ rende vera l'uguaglianza $100 000 = 10^{n}$ ?
- A $5$
- B $6$
- C $4$
- D $10$
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Risposta giusta: A. $5$
$100 000$ ha cinque zeri dopo l' $1$ , quindi $100 000 = 10^{5}$ . Chi risponde $6$ ha contato tutte le cifre del numero invece dei soli zeri. Chi risponde $4$ ha perso uno zero leggendo il numero in fretta. Chi risponde $10$ confonde l'esponente con la base, pensando che debbano coincidere.
Quanto vale $2 + 3^{2}$ ?
- A $25$
- B $13$
- C $8$
- D $11$
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Risposta giusta: D. $11$
Nell'ordine delle operazioni la potenza si calcola prima della somma: $3^{2} = 9$ , poi $2 + 9 = 11$ . Chi risponde $25$ ha sommato prima ( $2 + 3 = 5$ ) e poi ha elevato al quadrato il risultato, ignorando la precedenza. Chi risponde $13$ ha distribuito l'esponente su entrambi i numeri della somma ( $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9$ ), cosa che non si può fare. Chi risponde $8$ ha calcolato $3^{2}$ come $3 \cdot 2 = 6$ invece di $3 \cdot 3 = 9$ , e poi ha sommato $2$ .
Quale potenza equivale a $a^{4} \cdot a^{3}$ ?
- A $a^{7}$
- B $a^{12}$
- C $a^{1}$
- D $a^{43}$
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Risposta giusta: A. $a^{7}$
Nel prodotto di potenze con la stessa base gli esponenti si sommano: $a^{4} \cdot a^{3} = a^{4 + 3} = a^{7}$ . Chi risponde $a^{12}$ ha moltiplicato gli esponenti ( $4 \cdot 3$ ), confondendo questa proprietà con quella della potenza di potenza. Chi risponde $a^{1}$ ha sottratto gli esponenti ( $4 - 3$ ), applicando per errore la regola del quoziente. Chi risponde $a^{43}$ ha semplicemente accostato le cifre degli esponenti nell'ordine in cui compaiono, senza fare nessun calcolo.
Quale numero equivale a $2^{3} \cdot 5^{3}$ ?
- A $133$
- B $343$
- C $1000$
- D $30$
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Risposta giusta: C. $1000$
Nel prodotto di potenze con lo stesso esponente le basi si moltiplicano e l'esponente resta lo stesso: $2^{3} \cdot 5^{3} = {(2 \cdot 5)}^{3} = 10^{3} = 1000$ . Chi risponde $133$ ha sommato le due potenze già calcolate ( $8 + 125$ ) invece di partire dal prodotto delle basi. Chi risponde $343$ ha sommato prima le basi e poi elevato al cubo il risultato ( ${(2 + 5)}^{3}$ ), un'operazione diversa. Chi risponde $30$ ha moltiplicato fra loro le basi e l'esponente senza elevare a potenza ( $2 \cdot 5 \cdot 3$ ).
Quanto vale $7^{0}$ ?
- A $0$
- B $49$
- C $7$
- D $1$
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Risposta giusta: D. $1$
Qualunque numero diverso da zero elevato a zero vale $1$ , per convenzione. Chi risponde $0$ pensa che elevare a zero azzeri sempre il numero. Chi risponde $49$ non ha considerato l'esponente $0$ e ha calcolato $7^{2}$ per abitudine. Chi risponde $7$ confonde l'esponente zero con l'esponente $1$ , che invece lascia il numero invariato.
Quale potenza equivale a ${(a^{2})}^{5}$ ?
- A $a^{7}$
- B $a^{3}$
- C $a^{10}$
- D $a^{25}$
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Risposta giusta: C. $a^{10}$
Nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano: ${(a^{2})}^{5} = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$ . Chi risponde $a^{7}$ ha sommato gli esponenti ( $2 + 5$ ), confondendo questa proprietà con il prodotto di potenze con la stessa base. Chi risponde $a^{3}$ ha sottratto gli esponenti ( $5 - 2$ ), applicando per errore la regola del quoziente. Chi risponde $a^{25}$ ha accostato le cifre $2$ e $5$ senza moltiplicarle.
Applicando le proprietà delle potenze, quale potenza equivale a $(a^{5} \cdot a^{2}) : a^{3}$ ?
- A $a^{7}$
- B $a^{4}$
- C $a^{2}$
- D $a^{10}$
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Risposta giusta: B. $a^{4}$
Prima si sommano gli esponenti del prodotto al numeratore ( $5 + 2 = 7$ ), poi si sottrae l'esponente del divisore ( $7 - 3 = 4$ ): il risultato è $a^{4}$ . Chi risponde $a^{7}$ ha calcolato solo il numeratore ( $a^{5} \cdot a^{2} = a^{5 + 2} = a^{7}$ ), dimenticando di dividere per $a^{3}$ . Chi risponde $a^{2}$ ha sottratto subito $5 - 3$ , dimenticando il fattore $a^{2}$ al numeratore. Chi risponde $a^{10}$ ha sommato tutti e tre gli esponenti, trattando anche la divisione come se fosse un'altra moltiplicazione ( $5 + 2 + 3$ ).