Matematica · 1ª media · Lezione 5 di 9

Potenza di una variabile

Applicare a una lettera le regole delle potenze già note con i numeri: sommare gli esponenti nel prodotto, sottrarli nel quoziente, moltiplicarli nella potenza di potenza.

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Teoria in pillole

Le proprietà delle potenze che già conosci con i numeri valgono anche quando la base è una variabile, cioè una lettera che rappresenta un numero qualsiasi: la condizione è che le basi da confrontare siano sempre la stessa lettera, altrimenti le potenze non si possono unire in una sola.

$x^{3} \cdot x^{2} = x^{3 + 2} = x^{5}$

moltiplicando due potenze con la stessa base gli esponenti si sommano e la base resta invariata

nel quoziente di potenze con la stessa base gli esponenti si sottraggono: $x^{7} : x^{3} = x^{7 - 3}$
nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano: ${(x^{3})}^{2} = x^{3 \cdot 2}$
potenze con basi diverse, come $a^{2}$ e $b^{3}$ , restano scritte separate: non hanno un unico esponente

$x^{3} \cdot x^{2}$ non è $x^{6}$ (moltiplicando gli esponenti): è $x^{5}$ , perché nel prodotto di potenze gli esponenti si sommano, non si moltiplicano.

La mappa

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Domande

Quale scrittura corrisponde a $x \cdot x \cdot x \cdot x$ ?
- A $4 x$
- B $x^{3}$
- C $x + x + x + x$
- D $x^{4}$
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Risposta giusta: D. $x^{4}$
$x$ compare quattro volte come fattore, quindi l'esponente è $4$ : $x^{4}$ . Chi risponde $4 x$ tratta l'esponente come un coefficiente che moltiplica $x$ una sola volta; chi risponde $x^{3}$ ha contato solo tre fattori invece di quattro; chi risponde $x + x + x + x$ confonde il prodotto ripetuto (la potenza) con la somma ripetuta.
Come si scrive in forma più compatta $a \cdot b$ , con $a$ e $b$ lettere diverse?
- A $a + b$
- B $a^{b}$
- C $a b$
- D $2 a b$
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Risposta giusta: C. $a b$
Tra lettere il segno di moltiplicazione si può omettere: $a \cdot b = a b$ . Chi risponde $a + b$ scambia il prodotto per una somma; chi risponde $a^{b}$ scambia l'accostamento delle lettere per un esponente; chi risponde $2 a b$ aggiunge un coefficiente $2$ che non c'è nel prodotto di partenza.
Quanto vale $x^{4} \cdot x^{3}$ ?
- A $x^{12}$
- B $x^{7}$
- C $x$
- D $x^{4}$
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Risposta giusta: B. $x^{7}$
Le basi sono uguali, quindi gli esponenti si sommano: $4 + 3 = 7$ , cioè $x^{7}$ . Chi risponde $x^{12}$ ha moltiplicato gli esponenti ( $4 \cdot 3 = 12$ ), confondendo il prodotto di potenze con la potenza di potenza; chi risponde $x$ (cioè $x^{1}$ ) ha sottratto gli esponenti ( $4 - 3 = 1$ ) come nel quoziente; chi risponde $x^{4}$ ha usato solo il primo esponente, dimenticando di sommare il secondo fattore.
Quanto vale $x^{9} : x^{4}$ , con $x \neq 0$ ?
- A $x^{36}$
- B $x^{13}$
- C $x^{5}$
- D $x^{9}$
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Risposta giusta: C. $x^{5}$
Le basi sono uguali, quindi nel quoziente gli esponenti si sottraggono: $9 - 4 = 5$ , cioè $x^{5}$ . Chi risponde $x^{36}$ ha moltiplicato gli esponenti ( $9 \cdot 4 = 36$ ); chi risponde $x^{13}$ li ha sommati ( $9 + 4 = 13$ ) come nel prodotto; chi risponde $x^{9}$ ha ignorato l'esponente del divisore, come se la divisione non cambiasse nulla.
Quanto vale ${(x^{2})}^{5}$ ?
- A $x^{7}$
- B $x^{10}$
- C $x^{2}$
- D $x^{32}$
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Risposta giusta: B. $x^{10}$
Nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano: $2 \cdot 5 = 10$ , cioè $x^{10}$ . Chi risponde $x^{7}$ ha sommato gli esponenti ( $2 + 5 = 7$ ) come nel prodotto di potenze; chi risponde $x^{2}$ ha ignorato l'esponente esterno, lasciando solo la potenza interna; chi risponde $x^{32}$ ha calcolato $2^{5} = 32$ invece di moltiplicare $2 \cdot 5$ .
Quanto vale $a^{5} \cdot a^{2}$ ?
- A $a^{7}$
- B $a^{10}$
- C $a^{3}$
- D $a^{5}$
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Risposta giusta: A. $a^{7}$
Le basi sono uguali quindi gli esponenti si sommano: $5 + 2 = 7$ , cioè $a^{7}$ . Chi risponde $a^{10}$ ha moltiplicato gli esponenti ( $5 \cdot 2 = 10$ ), l'errore più comune quando si confonde il prodotto di potenze con la potenza di potenza; chi risponde $a^{3}$ li ha sottratti ( $5 - 2 = 3$ ) come nel quoziente; chi risponde $a^{5}$ ha usato solo il primo esponente, ignorando il secondo fattore.
Quale fra queste espressioni è già nella sua forma più semplice e non si può semplificare ulteriormente?
- A $a^{2} \cdot b^{3}$
- B $a^{4} \cdot a^{3}$
- C ${(a^{2})}^{3}$
- D $a^{5} : a^{2}$
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Risposta giusta: A. $a^{2} \cdot b^{3}$
$a^{2} \cdot b^{3}$ ha basi diverse ( $a$ e $b$ ): non esiste una regola per unirle in una sola potenza, quindi è già nella forma più semplice. Le altre tre hanno la stessa base e si possono ancora ridurre: $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ sommando gli esponenti ( $4 + 3 = 7$ ), ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ moltiplicandoli ( $2 \cdot 3 = 6$ ), $a^{5} : a^{2} = a^{3}$ sottraendoli ( $5 - 2 = 3$ ).
Quanto vale $x^{n} \cdot x^{4}$ ?
- A $x^{4 n}$
- B $x^{n}$
- C $x^{4}$
- D $x^{n + 4}$
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Risposta giusta: D. $x^{n + 4}$
Anche con un esponente letterale vale la stessa regola: le basi sono uguali quindi gli esponenti si sommano, $n + 4$ , cioè $x^{n + 4}$ . Chi risponde $x^{4 n}$ moltiplica $n$ per $4$ come nella potenza di potenza; chi risponde $x^{n}$ o $x^{4}$ tiene solo uno dei due esponenti, come se l'altro fattore non contasse.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.

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