Matematica · 1ª media · Lezione 6 di 9

Proprietà delle potenze con la stessa base

Sommare, sottrarre o moltiplicare gli esponenti di potenze con la stessa base a seconda che si tratti di un prodotto, di un quoziente o di una potenza di potenza.

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Teoria in pillole

Quando si moltiplicano o si dividono potenze che hanno la stessa base, il risultato è ancora una potenza con quella base: cambia solo l'esponente. Per il quoziente c'è una condizione che spesso si dà per scontata, la base non può essere $0$ , perché non si può dividere per $0$ .

$2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5}$

la base resta

2

, gli esponenti

3

2

si sommano

nel prodotto di potenze con la stessa base si sommano gli esponenti
nel quoziente di potenze con la stessa base ( $a \neq 0$ ) si sottraggono gli esponenti
nella potenza di potenza si moltiplicano gli esponenti

In $2^{3} \cdot 2^{2}$ l'esponente giusto è $5$ , non $6$ : si sommano $3$ e $2$ , non si moltiplicano. Moltiplicare gli esponenti vale solo per la potenza di potenza.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Proprietà delle potenze con la stessa base

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Domande

Quanto vale $x^{4} \cdot x^{3}$ ?
- A $x^{7}$
- B $x^{12}$
- C $x^{1}$
- D $x^{4}$
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Risposta giusta: A. $x^{7}$
Il prodotto di potenze con la stessa base si ottiene sommando gli esponenti: $4 + 3 = 7$ , quindi il risultato è $x^{7}$ . Chi risponde $x^{12}$ ha moltiplicato gli esponenti ( $4 \cdot 3 = 12$ ), applicando per errore la regola della potenza di potenza invece di quella del prodotto.
Quanto vale $a^{9} : a^{5}$ (con $a \neq 0$ )?
- A $a^{14}$
- B $a^{4}$
- C $a^{45}$
- D $a^{5}$
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Risposta giusta: B. $a^{4}$
Nel quoziente di potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $9 - 5 = 4$ , quindi $a^{4}$ . Chi risponde $a^{14}$ ha sommato gli esponenti ( $9 + 5 = 14$ ), confondendo il quoziente con il prodotto di potenze.
Quanto vale ${(x^{3})}^{4}$ ?
- A $x^{7}$
- B $x^{12}$
- C $x^{81}$
- D $x^{3}$
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Risposta giusta: B. $x^{12}$
Nella potenza di potenza si moltiplicano gli esponenti: $3 \cdot 4 = 12$ , quindi $x^{12}$ . Chi risponde $x^{7}$ ha sommato gli esponenti ( $3 + 4 = 7$ ), confondendo la potenza di potenza con il prodotto di potenze.
Quanto vale $2^{3} \cdot 2^{2}$ ?
- A $64$
- B $2$
- C $32$
- D $12$
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Risposta giusta: C. $32$
Si sommano gli esponenti: $3 + 2 = 5$ , quindi $2^{5} = 32$ . Chi risponde $64$ ha moltiplicato gli esponenti ( $3 \cdot 2 = 6$ , cioè $2^{6}$ ), applicando per errore la regola della potenza di potenza.
Quanto vale $5^{6} : 5^{4}$ ?
- A $5^{10}$
- B $5^{24}$
- C $5^{2}$
- D $5^{4}$
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Risposta giusta: C. $5^{2}$
Nel quoziente si sottraggono gli esponenti: $6 - 4 = 2$ , quindi il risultato è $5^{2}$ (cioè $25$ ). Chi risponde $5^{10}$ ha sommato gli esponenti ( $6 + 4 = 10$ ) invece di sottrarli, confondendo il quoziente con il prodotto.
Quanto vale ${(3^{2})}^{3}$ ?
- A $243$
- B $3$
- C $27$
- D $729$
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Risposta giusta: D. $729$
Nella potenza di potenza si moltiplicano gli esponenti: $2 \cdot 3 = 6$ , quindi $3^{6} = 729$ . Chi risponde $243$ ha sommato gli esponenti ( $2 + 3 = 5$ , cioè $3^{5} = 243$ ), confondendo la potenza di potenza con il prodotto di potenze.
In $x^{3} \cdot x^{2}$ , quanto vale l'esponente del risultato?
- A $5$
- B $6$
- C $1$
- D $3$
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Risposta giusta: A. $5$
Nel prodotto di potenze con la stessa base si sommano gli esponenti: $3 + 2 = 5$ . Chi risponde $6$ ha moltiplicato gli esponenti ( $3 \cdot 2 = 6$ ), applicando per errore la regola della potenza di potenza invece di quella del prodotto.
Quanto vale $(a^{5} \cdot a^{2}) : a^{4}$ ?
- A $a^{11}$
- B $a^{40}$
- C $a^{1}$
- D $a^{3}$
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Risposta giusta: D. $a^{3}$
Prima si applica il prodotto: $a^{5} \cdot a^{2} = a^{7}$ (si sommano $5$ e $2$ ); poi il quoziente: $a^{7} : a^{4} = a^{3}$ (si sottrae $4$ ). Chi risponde $a^{11}$ ha sommato tutti e tre gli esponenti ( $5 + 2 + 4 = 11$ ), senza distinguere fra l'operazione di prodotto e quella di quoziente.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.

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