Potenze con lo stesso esponente

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Quale scrittura è equivalente a $3^2·4^2$?

   • A ${\left(3+4\right)}^2$
   • B $3^2+4^2$
   • C ${\left(3·4\right)}^2$
   • D ${\left(3·4\right)}^4$
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   Risposta giusta: C. ${\left(3·4\right)}^2$

   Il prodotto di potenze con lo stesso esponente equivale alla potenza del prodotto delle basi: $3^2·4^2={\left(3·4\right)}^2$. Chi risponde ${\left(3+4\right)}^2$ ha sommato le basi invece di moltiplicarle; chi risponde $3^2+4^2$ ha trasformato il prodotto in una somma di potenze; chi risponde ${\left(3·4\right)}^4$ ha moltiplicato gli esponenti come nella potenza di potenza, invece di lasciarlo invariato.

2. Quanto vale $2^3·5^3$?

   • A $343$
   • B $250$
   • C $\mathrm{1 000 000}$
   • D $\mathrm{1 000}$
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   Risposta giusta: D. $\mathrm{1 000}$

   $2^3·5^3={\left(2·5\right)}^3={10}^3=\mathrm{1 000}$: si moltiplicano le basi e si mantiene lo stesso esponente. Chi risponde $343$ ha calcolato ${\left(2+5\right)}^3$ sommando le basi; chi risponde $250$ ha moltiplicato $2·5^3$ dimenticando di elevare al cubo anche il $2$; chi risponde $\mathrm{1 000 000}$ ha sommato gli esponenti ottenendo ${\left(2·5\right)}^6$, come se le due potenze avessero la stessa base.

3. Quanto vale ${40}^2:5^2$?

   • A $\mathrm{1 225}$
   • B $64$
   • C $320$
   • D $1$
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   Risposta giusta: B. $64$

   ${40}^2:5^2={\left(40:5\right)}^2=8^2=64$: si dividono le basi e l'esponente resta lo stesso. Chi risponde $\mathrm{1 225}$ ha calcolato ${\left(40-5\right)}^2$ sottraendo le basi invece di dividerle; chi risponde $320$ ha diviso solo ${40}^2$ per $5$ dimenticando di elevare al quadrato anche il divisore; chi risponde $1$ ha sottratto gli esponenti come se le due potenze avessero la stessa base, ottenendo ${40}^0$.

4. Quanto vale ${30}^2·2^2$?

   • A $\mathrm{3 600}$
   • B $\mathrm{1 024}$
   • C $\mathrm{1 800}$
   • D $\mathrm{12 960 000}$
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   Risposta giusta: A. $\mathrm{3 600}$

   ${30}^2·2^2={\left(30·2\right)}^2={60}^2=\mathrm{3 600}$. Chi risponde $\mathrm{1 024}$ ha sommato le basi calcolando ${\left(30+2\right)}^2$; chi risponde $\mathrm{1 800}$ ha moltiplicato ${30}^2·2$ dimenticando di elevare al quadrato anche il $2$; chi risponde $\mathrm{12 960 000}$ ha sommato gli esponenti ottenendo ${\left(30·2\right)}^4$ invece di lasciarlo invariato.

5. Quanto vale ${60}^3:3^3$?

   • A $\mathrm{8 000}$
   • B $\mathrm{185 193}$
   • C $1$
   • D $\mathrm{72 000}$
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   Risposta giusta: A. $\mathrm{8 000}$

   ${60}^3:3^3={\left(60:3\right)}^3={20}^3=\mathrm{8 000}$: si dividono le basi e l'esponente resta $3$. Chi risponde $\mathrm{185 193}$ ha calcolato ${\left(60-3\right)}^3$ sottraendo le basi invece di dividerle; chi risponde $1$ ha sottratto gli esponenti come se le potenze avessero la stessa base, ignorando il $3$; chi risponde $\mathrm{72 000}$ ha diviso ${60}^3$ per $3$ dimenticando di elevare al cubo anche il divisore.

6. In quale coppia le due potenze hanno lo stesso esponente, così da poterle moltiplicare moltiplicando le basi?

   • A $2^3$ e $2^5$
   • B $5^4$ e $5^7$
   • C $3^2$ e $7^5$
   • D $6^4$ e $9^4$
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   Risposta giusta: D. $6^4$ e $9^4$

   $6^4$ e $9^4$ hanno lo stesso esponente ($4$), quindi si possono moltiplicare come ${\left(6·9\right)}^4$. Le coppie $2^3$/$2^5$ e $5^4$/$5^7$ hanno invece la stessa base ma esponenti diversi: è il caso della proprietà con la stessa base, non con lo stesso esponente. La coppia $3^2$/$7^5$ non condivide né la base né l'esponente, quindi nessuna delle due proprietà si applica.

7. Quale numero al posto di $x$ rende vera l'uguaglianza $x^2·4^2={12}^2$?

   • A $8$
   • B $3$
   • C $48$
   • D $6$
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   Risposta giusta: B. $3$

   Da $x^2·4^2={12}^2$ segue $x·4=12$, quindi $x=12:4=3$: infatti ${\left(3·4\right)}^2={12}^2$. Chi risponde $8$ ha calcolato $12-4$ sottraendo invece di dividere; chi risponde $48$ ha calcolato $12·4$ invertendo l'operazione; chi risponde $6$ ha diviso $12$ per l'esponente $2$ invece che per la base $4$.

8. Quanto vale ${\mathrm{2,5}}^2·4^2$?

   • A $\mathrm{42,25}$
   • B $\mathrm{10 000}$
   • C $100$
   • D $40$
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   Risposta giusta: C. $100$

   ${\mathrm{2,5}}^2·4^2={\left(\mathrm{2,5}·4\right)}^2={10}^2=100$: si moltiplicano le basi e l'esponente resta $2$. Chi risponde $\mathrm{42,25}$ ha sommato le basi calcolando ${\left(\mathrm{2,5}+4\right)}^2$; chi risponde $\mathrm{10 000}$ ha sommato gli esponenti ottenendo ${\left(\mathrm{2,5}·4\right)}^4$ invece di lasciarlo invariato; chi risponde $40$ ha moltiplicato $\mathrm{2,5}·4^2$ dimenticando di elevare al quadrato anche il $\mathrm{2,5}$.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Potenze: Sei livelli su base ed esponente, quadrati e cubi, proprietà delle potenze, esponente zero ed espressioni, potenze di dieci e ordine di grandezza.