Matematica · 1ª media · Lezione 14 di 14

Configurazioni regolari

Figure che crescono con una regola: dalla tabella alla formula dell'ennesima configurazione.

Teoria in pillole

Qui una configurazione regolare è una figura che cresce con una differenza costante fra una configurazione e la successiva, numerate n = 1, 2, 3, … . La domanda interessante non è quanti pezzi ha la quarta, ma quanti ne ha l'ennesima, senza doverla disegnare: per rispondere serve una legge con una variabile.

La legge

5 n + 3

$5 n + 3$

si parte da

n

colonne di cinque pallini e se ne aggiungono sempre tre

La legge

5 n - 2

$5 n - 2$

si parte da

n

colonne di cinque pallini e se ne tolgono sempre due

le due configurazioni crescono entrambe di cinque pezzi per volta, ma la prima parte da

8

(

n = 1

) e la seconda da

3

. Il salto decide il numero davanti alla

n

; la prima configurazione decide quello che si aggiunge o si toglie.

Si disegnano le prime configurazioni e si contano i pezzi: sono i dati da cui parte tutto.
Si costruisce una tabella con il numero della configurazione e il numero dei pezzi, e si guarda di quanto cresce ogni volta: quel salto è il numero che moltiplica la $n$ .
Si trova il termine fisso con una sottrazione: se per $n = 1$ i pezzi sono $8$ e il salto è $5$ , allora $8 - 5 = 3$ è quello che va aggiunto.
Si verifica la legge su ogni riga, non solo sulla prima: $5 \cdot 3 + 3 = 18$ pallini nella terza, e la figura lo conferma.

Il salto costante dà solo il primo pezzo della legge. Se si cresce di 5 alla volta la legge contiene $5 n$ , ma può essere $5 n + 3$ o $5 n - 2$ : quale, lo decide la prima configurazione.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

In una serie di triangoli di pallini il primo ne ha 3, il secondo 6 e il terzo 9. Quanti ne ha il quarto?
- A $10$
- B $12$
- C $15$
- D $18$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $12$
Ogni configurazione aggiunge 3 pallini, quindi la legge è $3 n$ e la quarta ne ha $3 \cdot 4 = 12$ . $15$ è la quinta e $18$ la sesta; $10$ nasce dall'aggiungere 1 invece di 3.
Quanti pallini ha il decimo triangolo della stessa serie?
- A $13$
- B $40$
- C $30$
- D $33$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $30$
Con la legge $3 n$ basta sostituire: $3 \cdot 10 = 30$ , senza disegnare dieci configurazioni. $13$ somma invece di moltiplicare; $40$ userebbe la legge $4 n$ ; $33$ continua a contare a mano e perde un passo.
Perché conviene fare una tabella prima di cercare la legge?
- A Perché accosta il numero della configurazione a quello dei pezzi, e la relazione si vede
- B Perché la tabella è obbligatoria
- C Perché così non serve disegnare mai
- D Perché la tabella dà direttamente il risultato
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Risposta giusta: A. Perché accosta il numero della configurazione a quello dei pezzi, e la relazione si vede
La tabella mette le due colonne una accanto all'altra e rende visibile di quanto si cresce ogni volta: da lì si legge il numero che moltiplica la $n$ . Il disegno resta utile per le prime configurazioni, ed è quello che permette poi di verificare la legge.
L'espressione $5 n + 3$ dà i pallini dell'ennesima configurazione. Quanti ne ha la terza?
- A $15$
- B $8$
- C $13$
- D $18$
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Risposta giusta: D. $18$
$5 \cdot 3 = 15$ e poi $15 + 3 = 18$ . $8$ e $13$ sono la prima e la seconda configurazione; $15$ è il prodotto lasciato senza il $+ 3$ .
Quanto vale $2 n - 1$ per $n = 6$ ?
- A $12$
- B $10$
- C $11$
- D $5$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $11$
$2 \cdot 6 = 12$ e poi $12 - 1 = 11$ . $12$ si ferma al prodotto; $10$ ha calcolato $2 \cdot (6 - 1)$ , togliendo prima di moltiplicare; $5$ ha fatto solo $6 - 1$ .
In una serie il primo termine ha 1 quadretto colorato, il secondo 3 e il terzo 5. Quale espressione dà l'ennesimo?
- A $n + 2$
- B $2 n - 1$
- C $2 n + 1$
- D $3 n - 2$
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Risposta giusta: B. $2 n - 1$
Si cresce di 2 ogni volta, quindi c'è un $2 n$ ; per $n = 1$ serve 1 e $2 \cdot 1 = 2$ , quindi si toglie 1. $2 n + 1$ darebbe 3 al primo posto; $3 n - 2$ darebbe 1 e poi 4; $n + 2$ darebbe 3 e poi 4.
Quanto vale $8 - 2 x$ per $x = 3$ ?
- A $18$
- B $6$
- C $5$
- D $2$
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Risposta giusta: D. $2$
Prima il prodotto: $2 \cdot 3 = 6$ , poi $8 - 6 = 2$ . Chi risponde $18$ ha calcolato $(8 - 2) \cdot 3$ ; $5$ ha tolto solo il 3; $6$ si è fermato al prodotto.
Come si controlla che la legge trovata sia quella giusta?
- A Si prova su tutte le righe della tabella e si verifica con il disegno
- B Basta che funzioni sulla prima riga
- C Si guarda se il risultato è un numero pari
- D Si confronta con quella del compagno di banco
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Risposta giusta: A. Si prova su tutte le righe della tabella e si verifica con il disegno
Una legge che vale su una riga sola non è una legge: quasi tutte le espressioni sbagliate funzionano sul primo caso. Si prova su ogni riga della tabella e, per le configurazioni piccole, si ridisegna la figura per contare davvero.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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