Numeri naturali e operazioni · 1ª media

Di che cosa parla il capitolo

I numeri naturali sono i primi numeri che si incontrano, quelli che dicono quanti oggetti ci sono e in che ordine stanno: formano l'insieme ℕ. Il capitolo li guarda da due lati: come si scrivono e che cosa ci si può fare.

$4 305 = 4 \cdot 1000 + 305$

$305 = 3 \cdot 100 + 5$

$10 - 6 = 4$

$7 + 4 \cdot 5 - 32 : 8 = 23$

le due regole che reggono tutto il capitolo: il valore di una cifra dipende dal posto che occupa, e in un'espressione l'ordine delle operazioni non è libero

Prima la scrittura: valore di posizione, classi, retta dei numeri, arrotondamento, e uno sguardo ai sistemi venuti prima del nostro.
Poi le quattro operazioni: quali si possono sempre fare dentro ℕ e quali no, che cosa fanno lo $0$ e l' $1$ , e le proprietà, che sono i permessi del calcolo mentale.
Poi le espressioni, dove le parentesi si tolgono dall'interno verso l'esterno, e i problemi, dove prima si capisce e poi si calcola.
Infine uno strumento per descrivere regolarità: le leggi matematiche scritte con una lettera, come $3 n$ , che dicono quanti pezzi ha una configurazione che cresce senza doverla disegnare.

Alla fine del capitolo sai scrivere e confrontare qualunque numero naturale, scegliere l'operazione giusta e giustificare i passaggi che hai fatto per arrivarci.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

Quiz di fine capitolo

In quale ordine si esegue $12 + 8 : 4$ ?
- A Prima l'addizione, e fa $5$
- B Prima la divisione, e fa $14$
- C Da sinistra a destra, e fa $5$
- D Prima l'addizione, e fa $20$
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Risposta giusta: B. Prima la divisione, e fa $14$
La divisione ha la precedenza: $8 : 4 = 2$ e poi $12 + 2 = 14$ . Eseguire da sinistra a destra darebbe $(12 + 8) : 4 = 5$ , che è la risposta a un'altra espressione, quella con la parentesi.
Approssimati alle centinaia, $2149$ e $2194$ danno lo stesso numero?
- A No: $2149$ dà $2100$ e $2194$ dà $2200$
- B Sì, tutti e due $2200$
- C Sì, tutti e due $2100$
- D No: $2149$ dà $2200$ e $2194$ dà $2100$
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Risposta giusta: A. No: $2149$ dà $2100$ e $2194$ dà $2200$
Conta solo la cifra delle decine: in $2149$ è 4 e si va per difetto, in $2194$ è 9 e si va per eccesso. Basta quella cifra a cambiare il risultato, e non serve guardare quello che viene dopo.
Quale di queste operazioni non è commutativa?
- A L'addizione
- B La moltiplicazione
- C Nessuna: lo sono tutte
- D La sottrazione
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Risposta giusta: D. La sottrazione
$12 - 3$ fa $9$ , mentre $3 - 12$ fra i numeri naturali non esiste. Anche la divisione non è commutativa; addizione e moltiplicazione invece lo sono, ed è per questo che la tavola pitagorica è simmetrica.
Un'asse tagliata in 4 parti richiede quanti tagli?
- A $4$
- B $2$
- C $3$
- D $5$
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Risposta giusta: C. $3$
I tagli sono sempre uno in meno dei pezzi: per 4 parti ne servono 3. È lo stesso conto dei pali di una staccionata, ma rovesciato: lì gli oggetti sono uno in più degli intervalli.
Quanto vale $3 n + 2$ per $n = 4$ ?
- A $18$
- B $24$
- C $9$
- D $14$
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Risposta giusta: D. $14$
Prima il prodotto: $3 \cdot 4 = 12$ , poi $12 + 2 = 14$ . $18$ nasce da $3 \cdot (4 + 2)$ , cioè dal sommare prima; $9$ somma tutto, $3 + 4 + 2$ ; $24$ moltiplica tutto.
Una configurazione regolare parte da 4 quadratini e ne aggiunge 3 a ogni passo. Quale legge dà il numero di quadratini della configurazione numero $n$ ?
- A $4 n + 3$
- B $3 n + 1$
- C $3 n + 4$
- D $n + 3$
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Risposta giusta: B. $3 n + 1$
Per $n = 1$ la legge deve dare $4$ e per $n = 2$ deve dare $7$ : $3 \cdot 1 + 1 = 4$ e $3 \cdot 2 + 1 = 7$ . $3 n + 4$ è il tranello più comune, perché per $n = 1$ dà già $7$ ; $4 n + 3$ scambia il punto di partenza con la differenza fra un passo e l'altro.
Perché $7 : 0$ è impossibile mentre $0 : 7$ si può fare?
- A Perché lo zero non è un numero naturale
- B Perché $7 : 0$ fa zero e non serve a niente
- C Perché nessun numero moltiplicato per 0 dà 7, mentre $7 \cdot 0 = 0$
- D Perché la divisione si fa solo fra numeri diversi
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Risposta giusta: C. Perché nessun numero moltiplicato per 0 dà 7, mentre $7 \cdot 0 = 0$
Una divisione si verifica con la moltiplicazione. Per $7 : 0$ servirebbe un numero che moltiplicato per zero dia 7, e non esiste; per $0 : 7$ basta lo zero, perché $7 \cdot 0 = 0$ .
Perché conviene scrivere i passaggi uno per riga?
- A Perché quando il risultato non torna si vede dove è nato l'errore
- B Perché il risultato viene più preciso
- C Perché altrimenti le parentesi cambiano ordine
- D Perché è più veloce
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Risposta giusta: A. Perché quando il risultato non torna si vede dove è nato l'errore
Non è una questione di ordine formale: una riga per passaggio lascia una traccia confrontabile, e l'errore si trova nel primo punto in cui due svolgimenti divergono. Vale per le espressioni e per i problemi allo stesso modo.