Matematica · 1ª media · Lezione 11 di 14

Problemi

Capire prima di calcolare: il modello a barre, i passaggi in ordine e la risposta scritta alla fine.

Teoria in pillole

Risolvere un problema non vuol dire trovare in fretta l'operazione giusta: vuol dire prima capire la situazione. Per capirla si possono usare parole, disegni, tabelle e calcoli.

Problema. In una classe ci sono 32 ragazzi. I maschi sono 6 in più delle femmine. Quante sono le femmine e quanti sono i maschi?

Risoluzione

$(32 - 6) : 2 = 13$

$13 + 6 = 19$

32 ragazzi, di cui 6 maschi in più delle femmine: si toglie prima la differenza e si divide a metà, e vengono le femmine; i maschi si ritrovano rimettendo la differenza. Controllo:

13 + 19 = 32

Si comincia separando i dati dalla domanda: qui i dati sono $32$ e $6$ , e la domanda chiede due numeri sconosciuti, cioè due incognite, non uno. Un numero scritto nel testo è un dato solo se serve a rispondere.
Il modello a barre mette in fila le quantità e rende visibile il pezzo che sbilancia il confronto: si vede subito che cosa va tolto prima di dividere.
Il ragionamento va esposto in ordine sul quaderno, un passaggio per riga: serve a chi legge, ma soprattutto a chi cerca il proprio errore.
Alla fine si verifica che i numeri trovati rispettino tutti i dati, e si scrive la risposta: «le femmine sono 13 e i maschi 19», non un numero appeso in fondo alla pagina.

Prima di dividere in due parti uguali bisogna aver tolto la differenza. Con 32 ragazzi e 6 maschi in più, $32 : 2 = 16$ sarebbe la risposta a un altro problema, quello in cui maschi e femmine sono in pari numero.

La mappa

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Domande

Al campo estivo c'erano 32 ragazzi e i maschi erano 6 in più delle femmine. Quante erano le femmine?
- A $16$
- B $19$
- C $13$
- D $26$
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Risposta giusta: C. $13$
Si toglie prima la differenza: $32 - 6 = 26$ , che è quanto resta da dividere in due parti uguali, e $26 : 2 = 13$ . $19$ è il numero dei maschi, cioè $13 + 6$ ; $16$ è la metà di 32, che varrebbe solo se fossero in pari numero; $26$ è il passaggio intermedio.
Nello stesso problema, quanti erano i maschi?
- A $19$
- B $13$
- C $26$
- D $16$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $19$
I maschi sono le femmine più 6: $13 + 6 = 19$ . La verifica chiude il problema: $13 + 19 = 32$ e $19 - 13 = 6$ , quindi tutti e due i vincoli del testo sono rispettati. Chi risponde $13$ ha dato il numero delle femmine.
A che cosa serve il modello a barre?
- A A fare i calcoli più in fretta
- B A vedere quali quantità sono uguali e quale pezzo è in più
- C A sostituire la risposta scritta
- D A controllare le tabelline
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Risposta giusta: B. A vedere quali quantità sono uguali e quale pezzo è in più
Il disegno mette in fila le quantità e rende visibile il pezzo che sbilancia il confronto: nel problema del campo estivo si vede subito che una barra è più lunga di 6, e che quei 6 vanno tolti prima di dividere. Non sostituisce né i calcoli né la risposta finale.
Due fratelli hanno insieme 48 figurine e uno ne ha 8 più dell'altro. Quante ne ha il minore?
- A $24$
- B $28$
- C $40$
- D $20$
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Risposta giusta: D. $20$
Si toglie prima la differenza: $48 - 8 = 40$ , e si divide a metà: $40 : 2 = 20$ . Il maggiore ne ha $20 + 8 = 28$ , e la verifica torna, $20 + 28 = 48$ . $24$ è la metà di 48, che varrebbe solo se ne avessero lo stesso numero; $40$ è il passaggio intermedio; $28$ è la risposta all'altra domanda.
Anna ha il triplo delle caramelle di Bruno e insieme ne hanno 40. Quante ne ha Bruno?
- A $10$
- B $30$
- C $20$
- D $13$
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Risposta giusta: A. $10$
Se Bruno ne ha una parte, Anna ne ha tre parti uguali a quella: in tutto quattro parti che valgono 40, quindi $40 : 4 = 10$ . $30$ è quante ne ha Anna; $20$ è la metà di 40, che varrebbe se ne avessero lo stesso numero; $13$ nasce da $40 : 3$ , cioè dal contare tre parti invece di quattro.
Perché conviene scrivere i passaggi uno per riga invece di calcolare tutto a mente?
- A Perché il risultato viene diverso
- B Perché il quaderno deve essere pieno
- C Perché così si trova il punto in cui è nato l'errore
- D Perché altrimenti la risposta non conta
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Risposta giusta: C. Perché così si trova il punto in cui è nato l'errore
Il ragionamento scritto in ordine serve a chi legge, ma soprattutto a chi cerca il proprio errore: quando il risultato non torna si riguardano le righe e si trova il passaggio sbagliato. Con tutto a mente non resta niente da riguardare.
In un problema di somma e differenza, che cosa si fa per prima cosa?
- A Si divide il totale a metà
- B Si somma la differenza al totale
- C Si moltiplica il totale per due
- D Si toglie la differenza dal totale
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Risposta giusta: D. Si toglie la differenza dal totale
Togliere la differenza lascia due parti uguali, che si possono dividere a metà: da 32 ragazzi con 6 maschi in più si passa a $32 - 6 = 26$ e poi a $26 : 2 = 13$ . Dividere subito a metà darebbe $16$ , cioè la risposta al problema in cui le due quantità sono uguali.
Che cosa non deve mancare alla fine di un problema?
- A Il disegno
- B La risposta scritta, con l'unità di misura quando serve
- C La verifica con la calcolatrice
- D L'espressione in una riga sola
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Risposta giusta: B. La risposta scritta, con l'unità di misura quando serve
Il ragionamento va esposto in ordine e alla fine ci vuole la risposta scritta: «13 femmine e 19 maschi», non un numero solo in fondo alla pagina. Disegni e tabelle sono strumenti facoltativi, da usare quando aiutano.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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