Matematica · 1ª media · Lezione 12 di 14

Rappresentare problemi con un disegno

Tagli, pali, salite e scivolate: i problemi in cui la divisione secca dà la risposta sbagliata.

Teoria in pillole

Alcuni problemi diventano facili solo se si disegna la situazione. La divisione può contare intervalli, pezzi o avanzamenti completi: prima bisogna dare un nome al suo risultato, poi confrontarlo con ciò che chiede la domanda. Lo scarto di uno non è una regola universale: dipende da come sono disposti gli elementi.

Fila aperta

Lungo una fila di 100 m c'è un palo ogni 5 m e sono occupati anche i due estremi. Quanti pali servono?

$100 : 5 + 1 = 21$

Percorso chiuso

Attorno a un'aiuola lunga 100 m c'è un palo ogni 5 m; il punto iniziale e quello finale coincidono. Quanti pali servono?

$100 : 5 = 20$

Tagli

Una sbarra lunga 12 m deve essere divisa in pezzi da 3 m. Quanti tagli bisogna fare?

$12 : 3 - 1 = 3$

tre situazioni, tre conti diversi: cento metri con un palo ogni cinque, in fila e con i due estremi contati, danno un palo in più degli intervalli; gli stessi cento metri attorno a un'aiuola chiusa danno tanti pali quanti gli intervalli, perché il primo e l'ultimo coincidono; una sbarra di 12 m divisa in pezzi da 3 m dà quattro pezzi e tre tagli, uno in meno

In una fila aperta, con spazi regolari e i due estremi occupati, gli oggetti sono uno in più degli intervalli: venti intervalli richiedono ventuno pali.
In un percorso chiuso, con spazi regolari, il primo e l'ultimo posto coincidono: oggetti e intervalli sono in pari numero.
Nei problemi di taglio, se ogni taglio attraversa un solo pezzo, i tagli sono uno in meno dei pezzi: quattro pezzi richiedono tre tagli.
Nei problemi di avanzamento e arretramento il guadagno netto vale soltanto per i giorni completi: una lumaca che sale 3 m di giorno e ne scende 2 di notte guadagna 1 m dopo ogni notte, ma nell'ultimo giorno arriva in cima e non riscende.

Disegna un caso piccolo e regolare, scrivi che cosa conta il quoziente e solo dopo decidi se aggiungere uno, non cambiare nulla o togliere uno. La relazione si trasferisce al caso grande soltanto se restano uguali la disposizione e le condizioni del problema.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Rappresentare problemi con un disegno

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Domande

Per tagliare un'asse in due parti si impiegano 12 secondi. Quanto tempo ci vuole per tagliarla in tre parti?
- A $18$ secondi
- B $36$ secondi
- C $12$ secondi
- D $24$ secondi
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Risposta giusta: D. $24$ secondi
Per due parti serve un taglio solo, quindi un taglio costa 12 secondi; per tre parti servono due tagli, cioè $24$ secondi. Chi risponde $36$ ha moltiplicato per il numero delle parti invece che per quello dei tagli; $18$ ha impostato una proporzione senza accorgersi che i tagli sono uno in meno.
Una staccionata lunga 100 metri ha i pali a 5 metri l'uno dall'altro. Quanti pali servono?
- A $20$
- B $21$
- C $19$
- D $25$
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Risposta giusta: B. $21$
$100 : 5 = 20$ dà gli intervalli fra un palo e il successivo, non i pali: agli estremi ce n'è uno in più, quindi $21$ . È il problema dei tagli rovesciato, e vale la pena metterli uno accanto all'altro. $19$ toglie invece di aggiungere; $25$ divide per 4.
Un naufrago è a 290 km dal continente. Di giorno rema 50 km, di notte la corrente lo riporta indietro di 20. Dopo quanti giorni arriva?
- A $9$
- B $10$
- C $29$
- D $6$
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Risposta giusta: A. $9$
Ogni giorno completo guadagna $50 - 20 = 30$ km, ma l'ultimo giorno arriva prima che la corrente lo riporti indietro. Dopo 8 notti è a $8 \cdot 30 = 240$ km, e il nono giorno rema 50 km arrivando esatto a $290$ . Chi risponde $10$ ha diviso $290 : 30$ arrotondando per eccesso senza guardare l'ultimo giorno; $6$ ha diviso $290 : 50$ dimenticando la corrente.
Una lumaca risale una torre alta 73 m: di giorno sale 4 m, di notte scivola giù di 1. Dopo quanti giorni arriva in cima?
- A $25$
- B $19$
- C $24$
- D $73$
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Risposta giusta: C. $24$
Ogni giorno completo guadagna $4 - 1 = 3$ metri, ma l'ultima salita non viene annullata dalla notte. Dopo 23 notti è a $23 \cdot 3 = 69$ m, e il ventiquattresimo giorno sale 4 metri arrivando esatto a $73$ . Chi risponde $25$ ha diviso $73 : 3$ arrotondando per eccesso; $19$ ha diviso $73 : 4$ ignorando lo scivolamento.
Un'asse va tagliata in 6 parti. Quanti tagli servono?
- A $6$
- B $5$
- C $7$
- D $3$
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Risposta giusta: B. $5$
I tagli sono sempre uno in meno dei pezzi: per 6 parti ne servono 5. $6$ conta i pezzi invece dei tagli; $7$ ne aggiunge uno, come se valesse la regola dei pali; $3$ dimezza il numero delle parti.
Su un viale lungo 60 m ci sono alberi ogni 10 m, dal primo estremo all'ultimo. Quanti alberi ci sono?
- A $6$
- B $5$
- C $10$
- D $7$
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Risposta giusta: D. $7$
$60 : 10 = 6$ dà gli intervalli, e gli alberi sono uno in più: $7$ . Chi risponde $6$ ha fermato il conto agli intervalli; $5$ ne toglie uno invece di aggiungerlo; $10$ ha usato la distanza al posto della lunghezza.
Perché nel problema della lumaca non basta dividere $73 : 3$ ?
- A Perché 73 non è divisibile per 3
- B Perché la lumaca sale di 4 metri e non di 3
- C Perché l'ultima salita non viene annullata dalla notte
- D Perché la torre è troppo alta
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Risposta giusta: C. Perché l'ultima salita non viene annullata dalla notte
Il guadagno di 3 metri vale per tutti i giorni tranne l'ultimo, quando la lumaca arriva in cima prima di scivolare. Dopo 23 notti è a $69$ m e il ventiquattresimo giorno i suoi 4 metri bastano; $73 : 3$ arrotondato darebbe $25$ , cioè un giorno di troppo.
Qual è il disegno più utile per un problema di pali lungo una strada?
- A Una striscia con i pali segnati agli estremi e negli intervalli
- B Un cerchio diviso in parti uguali
- C Una tabella a doppia entrata
- D Un grafico a barre
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Risposta giusta: A. Una striscia con i pali segnati agli estremi e negli intervalli
Serve una figura che mostri gli estremi, perché è lì che nasce il palo in più. Bastano quattro o cinque pali su una striscia corta per vedere la regola, e poi la si applica ai cento metri veri senza doverli disegnare.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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