Matematica · 1ª media · Lezione 13 di 14

Leggi matematiche

Una lettera al posto di un numero: scrivere con una formula la regola che lega due colonne.

Teoria in pillole

Una legge matematica è una regola che lega ogni numero di una colonna al numero corrispondente dell'altra, sempre nello stesso modo. Per scriverla si usa una variabile: una lettera che sta al posto di un numero qualsiasi, e che si sostituisce con un numero preciso quando serve.

La legge

3 n

n	3n
1	3
2	6
4	12
10	30

ogni numero della prima colonna, moltiplicato per 3, dà quello della seconda

La legge

2 n + 1

n	2n + 1
1	3
2	5
4	9
10	21

prima si raddoppia, poi si aggiunge uno: l'ordine conta

due leggi scritte con una variabile: la prima triplica, e per

n = 4

dà

12

; la seconda raddoppia e aggiunge uno, e per

n = 4

dà

9

. Fra un numero e una lettera il segno di moltiplicazione non si scrive.

Fra un numero e una lettera il segno di moltiplicazione non si scrive, quando il numero viene prima: $3 n$ vuol dire $3 \cdot n$ , e $5 a$ vuol dire $5 \cdot a$ .
Per usare la legge si sostituisce alla lettera il valore e poi si calcola rispettando le precedenze: $2 n + 1$ per $n = 10$ dà prima $20$ e poi $21$ . Chi somma per primo trova $22$ , che è un'altra legge, $2 \cdot (n + 1)$ .
Le leggi descrivono anche situazioni concrete: $n$ gatti hanno $2 n$ orecchie e $4 n$ zampe.
Nell'esempio della legge $2 n + 1$ si può anche procedere al contrario: se il risultato è $21$ , allora $n = 10$ .

Una legge deve valere per tutte le righe della tabella. Quasi ogni espressione sbagliata funziona sulla prima riga: è la seconda che decide.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Costruisci una funzione: introduzione (PhET, sito esterno): Prova ad inserire numeri diversi nella stessa macchina matematica e osserva come una legge fissa trasforma ogni ingresso in modo prevedibile.

Domande

Nella tabella $1 \to 3$ , $2 \to 6$ , $4 \to 12$ , qual è la legge?
- A $3 n$
- B $n + 2$
- C $n + 8$
- D $2 n$
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Risposta giusta: A. $3 n$
Ogni numero della seconda colonna è il triplo del primo: $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $3 \cdot 4 = 12$ . Una legge deve valere per tutte le righe: $n + 2$ funziona solo sulla prima, $n + 8$ solo sulla terza, e $2 n$ su nessuna.
Quante orecchie hanno $n$ gatti?
- A $n + 2$
- B $4 n$
- C $n : 2$
- D $2 n$
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Risposta giusta: D. $2 n$
Ogni gatto ha due orecchie, quindi il totale è $2 \cdot n$ , che si scrive $2 n$ . $4 n$ conta le zampe; $n + 2$ aggiungerebbe due orecchie in tutto invece di due per gatto.
Perché fra un numero e una lettera il segno di moltiplicazione non si scrive?
- A Perché la moltiplicazione non si fa
- B Perché è una convenzione di scrittura: $3 n$ vuol dire $3 \cdot n$
- C Perché la lettera vale sempre 1
- D Perché il numero va sempre scritto dopo la lettera
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Risposta giusta: B. Perché è una convenzione di scrittura: $3 n$ vuol dire $3 \cdot n$
È solo un modo più corto di scrivere la stessa cosa: $3 n$ , $5 a$ e $2 x$ significano $3 \cdot n$ , $5 \cdot a$ e $2 \cdot x$ . La lettera sta per un numero qualsiasi, e il puntino si omette quando il numero viene prima.
Quanto vale $3 n$ per $n = 10$ ?
- A $13$
- B $310$
- C $30$
- D $3$
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Risposta giusta: C. $30$
Si sostituisce il 10 al posto della lettera: $3 \cdot 10 = 30$ . $13$ somma invece di moltiplicare; $310$ incolla le due scritture una dopo l'altra; $3$ ignora del tutto la $n$ .
Che cos'è una variabile?
- A Un numero che cambia da solo
- B Un numero che resta sempre sconosciuto
- C Il risultato di un'operazione
- D Una lettera che sta al posto di un numero qualsiasi
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Risposta giusta: D. Una lettera che sta al posto di un numero qualsiasi
Serve quando il numero non si conosce, oppure quando si vuole scrivere una regola valida per tutti i numeri insieme. Non cambia da sola: cambia perché siamo noi a metterci valori diversi.
Quante zampe hanno $n$ gatti?
- A $4 n$
- B $2 n$
- C $n + 4$
- D $n : 4$
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Risposta giusta: A. $4 n$
Quattro zampe per gatto, quindi $4 \cdot n$ , cioè $4 n$ : per $n = 5$ fa $20$ . $2 n$ conta le orecchie; $n + 4$ aggiungerebbe quattro zampe in tutto, non quattro per gatto.
In una tabella la prima colonna ha 1, 2, 3 e la seconda 5, 7, 9. Qual è la legge?
- A $5 n$
- B $n + 4$
- C $2 n + 3$
- D $3 n + 2$
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Risposta giusta: C. $2 n + 3$
Da una riga alla successiva il secondo numero cresce di 2, quindi c'è un $2 n$ ; per $n = 1$ serve 5 e $2 \cdot 1 = 2$ , quindi si aggiunge 3. La legge è $2 n + 3$ , e torna su tutte e tre le righe. Le altre tre funzionano sulla prima riga e falliscono già sulla seconda: è per questo che la prima riga non basta mai.
Quanto vale $5 n + 3$ per $n = 4$ ?
- A $35$
- B $23$
- C $20$
- D $12$
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Risposta giusta: B. $23$
Prima la moltiplicazione: $5 \cdot 4 = 20$ , poi $20 + 3 = 23$ . Chi risponde $35$ ha sommato prima, calcolando $5 \cdot (4 + 3)$ ; $20$ si è fermato al prodotto; $12$ ha sommato tutto, $5 + 4 + 3$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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