Matematica · 1ª media · Lezione 10 di 14

Espressioni più lunghe

Parentesi dentro parentesi: si risolve dall'interno, tonde, quadre e graffe.

Teoria in pillole

Quando in un'espressione ci sono più parentesi una dentro l'altra si tolgono dall'interno verso l'esterno: prima le tonde, poi le quadre, infine le graffe. Togliere una parentesi vuol dire sostituirla con il numero che ci sta dentro. Non è un ordine di importanza ed è l'unico possibile: ogni parentesi delimita un pezzo di conto, e finché quel pezzo non è ridotto a un numero non lo si può usare in quello che lo contiene.

Espressioni con più parentesi

$50 - {20 + [9 - (3 + 4)]}$

si toglie prima la tonda:

(3 + 4) = 7

poi la quadra:

[9 - 7] = 2

poi la graffa:

20 + 2 = 22

resta

50 - 22 = 28

Espressioni fratte

$\frac{(12 + 8)}{(10 - 6)} = 5$

la linea di frazione fa da parentesi sui due lati: si chiude

12 + 8 = 20

sopra e

10 - 6 = 4

sotto, e solo dopo si divide

nella prima si parte da

(3 + 4) = 7

, poi

[9 - 7] = 2

, poi la graffa dà

22

e resta

50 - 22

. Nella seconda la linea di frazione fa da parentesi sui due lati e chiude i due conti prima di dividere.

Dentro ogni parentesi valgono le precedenze di sempre: prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni.
Prima di cominciare si contano le parentesi aperte e chiuse: devono essere in pari numero e appaiate. Questo controllo evita di partire da una scrittura già incompleta.
Si riscrive l'espressione per intero a ogni passaggio, cambiando una sola cosa per volta: è così che si trova l'errore quando il valore non torna.
Una parentesi che contiene un solo numero si può togliere: $(7) + 3$ è $7 + 3$ .

Quadre e graffe non cambiano le regole: servono solo a distinguere una parentesi dall'altra a colpo d'occhio. Chi comincia dalla graffa più esterna trova quasi sempre un valore diverso.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

Quanto vale 100 − {80 + [50 − (30 + 10)]}?
- A $30$
- B $10$
- C $90$
- D $40$
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Risposta giusta: B. $10$
Si parte dalla tonda: $30 + 10 = 40$ . Poi la quadra: $50 - 40 = 10$ . Poi la graffa: $80 + 10 = 90$ . Infine $100 - 90 = 10$ . Chi risponde $90$ si è fermato al contenuto della graffa e $40$ a quello della tonda; $30$ ha portato il meno solo sull' $80$ , calcolando $100 - 80 + 10$ .
In un'espressione con parentesi annidate, quale si risolve per prima?
- A La graffa
- B La quadra
- C Quella più a sinistra
- D La tonda
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Risposta giusta: D. La tonda
Si va dall'interno verso l'esterno, e le tonde stanno sempre più dentro: prima tonde, poi quadre, poi graffe. La posizione sulla riga non c'entra: conta quanto è annidata la parentesi, non se sta a sinistra o a destra.
Quanto vale 40 : {10 + [5 + (8 − 3)]}?
- A $4$
- B $20$
- C $2$
- D $10$
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Risposta giusta: C. $2$
Dalla tonda: $8 - 3 = 5$ . Poi la quadra: $5 + 5 = 10$ . Poi la graffa: $10 + 10 = 20$ . Infine $40 : 20 = 2$ . Chi risponde $20$ si è fermato alla graffa e $10$ alla quadra; $4$ ha diviso per il solo contenuto della quadra, cioè $40 : 10$ .
Un'espressione ha sopra la linea di frazione $8 + 21 \cdot 2$ e sotto $25 - 15$ . Quanto vale?
- A $5$
- B $50$
- C $29$
- D $10$
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Risposta giusta: A. $5$
La linea di frazione fa da parentesi: sopra $8 + 21 \cdot 2 = 8 + 42 = 50$ , sotto $25 - 15 = 10$ , e infine $50 : 10 = 5$ . $50$ e $10$ sono i due conti presi da soli; $29$ nasce dal fare $8 + 21$ ignorando la precedenza della moltiplicazione.
Quanto vale $8 \cdot 4 - 2 \cdot 6$ ?
- A $180$
- B $32$
- C $12$
- D $20$
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Risposta giusta: D. $20$
I due prodotti si fanno per primi: $8 \cdot 4 = 32$ e $2 \cdot 6 = 12$ , poi $32 - 12 = 20$ . Chi risponde $180$ ha eseguito da sinistra a destra, cioè $32 - 2 = 30$ e poi $30 \cdot 6$ ; $32$ e $12$ sono i due prodotti presi da soli.
Perché conviene riscrivere l'espressione per intero a ogni passaggio?
- A Perché il risultato viene più grande
- B Perché se il risultato non torna si vede a quale passaggio è nato l'errore
- C Perché è obbligatorio nelle verifiche
- D Perché altrimenti le parentesi cambiano ordine
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Risposta giusta: B. Perché se il risultato non torna si vede a quale passaggio è nato l'errore
Riscrivere tutto cambiando una sola cosa per volta lascia una traccia leggibile: quando il risultato non torna si confrontano le righe e si trova il passaggio sbagliato. Saltare righe fa risparmiare trenta secondi e costa dieci minuti di ricerca dell'errore.
Quanto vale [20 − (2 · 7 + 3)] · 3?
- A $9$
- B $3$
- C $27$
- D $17$
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Risposta giusta: A. $9$
Dentro la tonda prima il prodotto: $2 \cdot 7 = 14$ , poi $14 + 3 = 17$ . Nella quadra: $20 - 17 = 3$ . Infine $3 \cdot 3 = 9$ . Chi risponde $3$ si è fermato alla quadra e $17$ alla tonda; $27$ ha ignorato la tonda calcolando $20 - 14 + 3 = 9$ e poi $9 \cdot 3$ .
In un'espressione con parentesi annidate, dove valgono le precedenze fra puntini e trattini?
- A Solo fuori dalle parentesi
- B Solo dentro le graffe
- C Dentro ogni parentesi, e anche fuori
- D Non valgono più: comandano le parentesi
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Risposta giusta: C. Dentro ogni parentesi, e anche fuori
Le parentesi non sospendono le precedenze: le circoscrivono. Dentro ogni parentesi si fanno prima moltiplicazioni e divisioni e poi addizioni e sottrazioni, esattamente come fuori. In [20 − (2 · 7 + 3)] · 3 è proprio la precedenza dentro la tonda a dare $17$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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