Matematica · 1ª media · Lezione 7 di 14

Proprietà di moltiplicazione e divisione

Commutativa, associativa, distributiva e invariantiva: perché certi conti si possono fare a mente.

Teoria in pillole

Anche moltiplicazione e divisione hanno le loro proprietà, e servono alla stessa cosa: riscrivere un conto difficile in uno facile senza cambiarne il risultato.

Commutativa

$a \cdot b = b \cdot a$

della moltiplicazione

Associativa

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

della moltiplicazione

Distributiva

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

della moltiplicazione sulla somma

Invariantiva

$a : b = a c : b c$

della divisione: si moltiplicano dividendo e divisore per lo stesso

c

diverso da zero

nell'ordine: commutativa, associativa e distributiva della moltiplicazione, e invariantiva della divisione, dove il numero

c

deve essere diverso da zero. La divisione non è né commutativa né associativa.

La commutativa e l'associativa permettono di scambiare e raggruppare i fattori come conviene: $5 \cdot 318 \cdot 2 = 10 \cdot 318 = 3180$ .
La distributiva spezza un fattore in una somma: $7 \cdot 13 = 7 \cdot (10 + 3)$ . Si moltiplica per 7 ciascun addendo, $7 \cdot 10 = 70$ e $7 \cdot 3 = 21$ , e si sommano i prodotti: $70 + 21 = 91$ . È il modo in cui si moltiplica a mente.
L'invariantiva richiede un divisore non nullo: si moltiplicano dividendo e divisore per lo stesso fattore non nullo; se invece si dividono entrambi, le due divisioni devono essere esatte in ℕ. Per esempio: $320 : 5 = 640 : 10 = 64$ .
Anche il dividendo si può scomporre in una somma, scegliendo addendi divisibili per il divisore: $48 : 3 = (30 + 18) : 3$ $\frac{48}{3} = \frac{(30 + 18)}{3}$ . Si divide per 3 ciascun addendo, $30 : 3 = 10$ e $18 : 3 = 6$ , e si sommano i quozienti: $10 + 6 = 16$ .

La distributiva della divisione richiede un divisore diverso da zero e si può applicare al dividendo quando gli addendi scelti sono divisibili per quel divisore; non si applica al divisore: $48 : (2 + 1)$ fa $16$ , mentre $48 : 2 + 48 : 1$ farebbe $72$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Proprietà di moltiplicazione e divisione

Apri la mappa in grande

Simulazioni

Rappresentazione grafica della moltiplicazione: introduzione (PhET, sito esterno): Prova a scomporre un fattore in due addendi e ricomporre i rettangoli e osserva come il prodotto totale rimane invariato.
Rappresentazione grafica della moltiplicazione (PhET, sito esterno): Prova a scambiare e raggruppare le parti che formano i fattori e osserva come l'area totale resta uguale nonostante la nuova disposizione.

Domande

Quanto fa $7 \cdot 13$ scomponendo il 13?
- A $91$
- B $70$
- C $73$
- D $210$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $91$
Si scompone il 13 in $10 + 3$ e si moltiplica il 7 per tutti e due: $7 \cdot 10 = 70$ e $7 \cdot 3 = 21$ , quindi $70 + 21 = 91$ . Chi risponde $70$ si è fermato al primo pezzo; $73$ ha sommato $70 + 3$ senza moltiplicare il secondo addendo; $210$ ha calcolato $7 \cdot 30$ .
Quanto fa $5 \cdot 318 \cdot 2$ ?
- A $1590$
- B $636$
- C $3180$
- D $325$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $3180$
Con la commutativa si avvicinano il 5 e il 2, che fanno 10: $10 \cdot 318 = 3180$ . $1590$ è $5 \cdot 318$ , cioè il conto lasciato a metà; $636$ è $318 \cdot 2$ , l'altra metà; $325$ ha sommato invece di moltiplicare.
Quale scrittura della proprietà distributiva è corretta?
- A $a \cdot (b + c) = a \cdot b + b \cdot c$
- B $a \cdot (b + c) = a + b \cdot a + c$
- C $a \cdot (b + c) = a \cdot b \cdot a \cdot c$
- D $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Il fattore che sta fuori moltiplica ciascun addendo e resta sempre lo stesso: $a \cdot b + a \cdot c$ . La prima risposta cambia $a$ in $b$ nel secondo prodotto, e con $a = 7$ , $b = 10$ e $c = 3$ darebbe $70 + 30 = 100$ invece di $91$ .
Quanto fa $320 : 5$ usando la proprietà invariantiva?
- A $32$
- B $64$
- C $16$
- D $128$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $64$
Si moltiplicano per 2 sia dividendo sia divisore: $640 : 10 = 64$ , molto più comodo. $32$ nasce dal dividere per 10 il solo dividendo; $16$ da $320 : 20$ ; $128$ da $640 : 5$ , cioè dall'aver raddoppiato solo il dividendo.
Quanto fa $120 : 30$ ?
- A $40$
- B $3$
- C $4$
- D $90$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $4$
Si dividono per 10 dividendo e divisore: $12 : 3 = 4$ . Chi risponde $3$ ha fatto $12 : 4$ scambiando i due numeri; $40$ ha diviso solo per 3; $90$ ha sottratto invece di dividere.
Quanto fa $48 : 3$ scomponendo il dividendo?
- A $16$
- B $15$
- C $18$
- D $12$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $16$
Si spezza $48$ in $30 + 18$ e si divide ogni pezzo: $30 : 3 = 10$ e $18 : 3 = 6$ , quindi $10 + 6 = 16$ . $15$ , $18$ e $12$ sono i quozienti di $45$ , $54$ e $36$ diviso 3: nascono da una scomposizione che non rimette insieme il $48$ di partenza.
Quale di queste uguaglianze è falsa?
- A $4 \cdot 7 \cdot 10 = 4 \cdot 70$
- B $12 : 4 = 4 : 12$ $\frac{12}{4} = \frac{4}{12}$
- C $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$
- D $(30 + 18) : 3 = 30 : 3 + 18 : 3$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $12 : 4 = 4 : 12$ $\frac{12}{4} = \frac{4}{12}$
La divisione non è commutativa: $12 : 4 = 3$ , mentre $4 : 12$ fra i naturali non esiste. Le altre tre sono corrette: la prima usa l'associativa, la terza la commutativa, l'ultima distribuisce la divisione sui due addendi del dividendo.
Perché $(a + b) : c$ si può scrivere come $a : c + b : c$ ?
- A Perché la divisione è commutativa
- B Perché la divisione è associativa
- C Perché vale la proprietà invariantiva
- D Perché il dividendo si può scomporre in una somma e dividere pezzo per pezzo
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. Perché il dividendo si può scomporre in una somma e dividere pezzo per pezzo
Dividere un totale equivale a dividere le sue parti e rimetterle insieme: $48 : 3 = (30 + 18) : 3 = 10 + 6 = 16$ . Vale però solo per il dividendo: $48 : (2 + 1)$ fa $16$ , mentre $48 : 2 + 48 : 1$ farebbe $72$ .

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

Apri la lezione interattiva