Matematica · 1ª media · Lezione 6 di 14

Moltiplicazione e divisione

Fattori, prodotto, dividendo, divisore e quoziente, con i due casi dello zero che non si somigliano.

Teoria in pillole

La moltiplicazione è un'addizione ripetuta: i numeri che si moltiplicano sono i fattori e il risultato è il prodotto. La divisione è l'operazione inversa: se è esatta, il quoziente moltiplicato per il divisore restituisce il dividendo; se c'è un resto, al prodotto bisogna aggiungere quel resto.

Moltiplicazione

3 \cdot 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

: il 3 è ripetuto cinque volte come addendo

Divisioneè l'operazione inversa della moltiplicazione:

5 \cdot 3 = 15

Lo zero fa eccezione

$n \cdot 0 = 0$

come fattore azzera qualunque prodotto; come divisore manda la divisione fuori dalle regole

moltiplicare 3 per 5 vuol dire ripetere il 3 cinque volte come addendo; la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Lo 0 fa eccezione: come fattore azzera qualunque prodotto, come divisore manda la divisione fuori dalle regole.

Ogni divisione si controlla con una moltiplicazione: $12 : 3 = 4$ perché $3 \cdot 4 = 12$ .
L'1 è l'elemento neutro soltanto della moltiplicazione: $18 \cdot 1 = 18$ . Nella divisione, dividere per 1 lascia invariato il dividendo: $18 : 1 = 18$ ; un numero diverso da zero diviso per sé stesso dà $1$ : $18 : 18 = 1$ .
La moltiplicazione è un'operazione interna a ℕ, la divisione no: $7 : 2$ non è un numero naturale.
Quando la divisione non è esatta resta un resto: è almeno zero e minore del divisore positivo. La prova ricostruisce il dividendo: $17 : 5$ dà quoziente $3$ e resto $2$ , e infatti $5 \cdot 3 + 2 = 17$ .

Con lo zero i casi sono tre e vanno tenuti distinti. $0 : 3 = 0$ si può fare, perché $3 \cdot 0 = 0$ . $4 : 0$ è impossibile: nessun numero moltiplicato per $0$ può dare $4$ . $0 : 0$ è indeterminato: andrebbe bene qualunque numero, e una risposta sola non c'è.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Moltiplicazione e divisione

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Simulazioni

Aritmetica (PhET, sito esterno): Prova ad alternare moltiplicazioni e divisioni sulla stessa tabella e osserva come ogni quoziente ritrova il fattore mancante.
Rappresentazione grafica della moltiplicazione (PhET, sito esterno): Prova a rappresentare una moltiplicazione con un rettangolo suddiviso in parti più semplici e osserva come i prodotti parziali ricostruiscono il risultato.

Domande

Il triplo di un numero è $45$ . Qual è il numero?
- A $135$
- B $42$
- C $15$
- D $48$
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Risposta giusta: C. $15$
Triplo vuol dire moltiplicato per 3, quindi si cerca $x$ in $3 \cdot x = 45$ , cioè $45 : 3 = 15$ . Chi risponde $135$ ha moltiplicato per 3 invece di dividere; $42$ e $48$ hanno tolto o aggiunto 3 al posto di dividere.
Quanto fa $15 \cdot 2 \cdot 0$ ?
- A $30$
- B $17$
- C $15$
- D $0$
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Risposta giusta: D. $0$
Basta un fattore uguale a zero perché tutto il prodotto sia zero: $15 \cdot 2 = 30$ e poi $30 \cdot 0 = 0$ . Chi risponde $30$ ha ignorato l'ultimo fattore, come se moltiplicare per zero lasciasse le cose com'erano; $17$ ha sommato invece di moltiplicare.
Perché $3 : 0$ è impossibile?
- A Perché nessun numero moltiplicato per $0$ dà $3$
- B Perché il risultato sarebbe $0$
- C Perché il risultato sarebbe $3$
- D Perché lo zero non è un numero
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Risposta giusta: A. Perché nessun numero moltiplicato per $0$ dà $3$
Una divisione si verifica con la moltiplicazione: $3 : 0 = x$ vorrebbe dire $x \cdot 0 = 3$ , e qualunque numero moltiplicato per zero dà zero, mai 3. Lo zero è un numero a tutti gli effetti, e infatti $0 : 3 = 0$ si può fare.
Quanto fa $0 : 7$ ?
- A È impossibile
- B $0$
- C $7$
- D $1$
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Risposta giusta: B. $0$
$0 : 7 = 0$ , e si verifica subito: $7 \cdot 0 = 0$ . È il caso opposto a $7 : 0$ , che invece è impossibile. Chi risponde $1$ sta applicando la regola del numero diviso sé stesso, che qui non c'entra.
In $12 : 3 = 4$ , come si chiama il $3$ ?
- A Dividendo
- B Quoziente
- C Prodotto
- D Divisore
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Risposta giusta: D. Divisore
Il numero per cui si divide è il divisore; il $12$ è il dividendo e il $4$ è il quoziente. «Prodotto» appartiene invece alla moltiplicazione.
Nella moltiplicazione $7 B \cdot 8$ il risultato finisce per 4. Quali cifre può essere $B$ ?
- A $2$ oppure $7$
- B Soltanto $8$
- C $3$ oppure $8$
- D Soltanto $3$
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Risposta giusta: C. $3$ oppure $8$
L'ultima cifra del prodotto dipende solo dall'ultima cifra dei fattori: $8 \cdot 3 = 24$ e $8 \cdot 8 = 64$ finiscono tutte e due per 4, quindi $B$ può essere 3 oppure 8. $8 \cdot 2 = 16$ e $8 \cdot 7 = 56$ finiscono per 6, non per 4.
Scrivi $5 + 5 + 5$ come moltiplicazione.
- A $5 \cdot 5$
- B $3 \cdot 5$
- C $5 + 3$
- D $15 \cdot 3$
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Risposta giusta: B. $3 \cdot 5$
Il 5 è preso tre volte, quindi $3 \cdot 5 = 15$ . $5 \cdot 5$ prenderebbe il 5 cinque volte e darebbe $25$ ; $15 \cdot 3$ moltiplica per 3 un risultato che è già il totale.
La divisione $56 : 7 = 8$ è corretta?
- A Sì, perché $7 \cdot 8 = 56$
- B No, perché $7 \cdot 8 = 54$
- C Sì, perché $56 - 7 = 8$
- D No, perché $56 : 8 = 6$
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Risposta giusta: A. Sì, perché $7 \cdot 8 = 56$
Una divisione si controlla moltiplicando quoziente e divisore: $7 \cdot 8 = 56$ , quindi il risultato è giusto. La verifica non si fa con una sottrazione, e $56 : 8$ dà $7$ , non $6$ : anche quel conto conferma la divisione di partenza.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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