Matematica · 1ª media · Lezione 5 di 14

Proprietà di addizione e sottrazione

Commutativa, associativa e invariantiva: i permessi che rendono legittimi i trucchi del calcolo mentale.

Teoria in pillole

Le proprietà delle operazioni non sono regole da mandare a memoria: sono i permessi che rendono legittimi i trucchi del calcolo mentale. Dicono quali riscritture di un conto lasciano il risultato intatto. L'addizione ne ha due, la sottrazione una sola.

Commutativa

$a + b = b + a$

dell'addizione

Associativa

$(a + b) + c = a + (b + c)$

dell'addizione

Invariantiva

$a - b = (a + c) - (b + c)$

della sottrazione, l'unica che ha

nell'ordine: commutativa e associativa, che valgono per l'addizione, e invariantiva, l'unica della sottrazione. La sottrazione non è né commutativa né associativa.

La commutativa permette di scambiare gli addendi: $7 + 48 = 48 + 7 = 55$ , e conviene partire dal numero più grande.
L'associativa permette di sostituire a due addendi la loro somma: $13 + 8 + 2 = 13 + (8 + 2)$ , cioè $13 + 10 = 23$ .
L'invariantiva permette di aggiungere lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, oppure di toglierlo quando entrambe le sottrazioni restano possibili in ℕ: $75 - 48 = 77 - 50 = 27$ . Si sceglie il numero che porta il sottraendo a una decina tonda: è lì che il conto diventa facile.
Nella sottrazione si possono comunque scambiare fra loro più sottraendi, oppure sommarli e toglierli in una volta sola: in $230 - 70 - 35$ si sommano i sottraendi, $70 + 35 = 105$ , e poi si toglie la somma: $230 - 105 = 125$ .

Commutativa e invariantiva si somigliano ma non sono la stessa cosa. Da $75 - 48$ si può passare a $77 - 50$ aggiungendo 2 a tutti e due, ma non a $48 - 75$ : scambiare i due numeri cambia tutto.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Proprietà di addizione e sottrazione

Apri la mappa in grande

Domande

Quanto fa $13 + 45 + 27 + 105$ ?
- A $180$
- B $190$
- C $185$
- D $200$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $190$
Con la commutativa si avvicinano i numeri che si sommano bene: $13 + 27 = 40$ e $45 + 105 = 150$ , quindi $40 + 150 = 190$ . $180$ e $200$ nascono da un riporto perso o aggiunto di troppo; $185$ dimentica cinque unità per strada.
Quale proprietà permette di scrivere $75 - 48 = 77 - 50$ ?
- A L'invariantiva della sottrazione
- B La commutativa
- C L'associativa
- D La distributiva
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. L'invariantiva della sottrazione
Si è aggiunto $2$ sia al minuendo sia al sottraendo, e la differenza è rimasta $27$ : è esattamente la proprietà invariantiva. La commutativa non vale per la sottrazione, l'associativa riguarda il raggruppamento e la distributiva la moltiplicazione.
Quanto fa $280 - 4 - 80$ ?
- A $204$
- B $356$
- C $200$
- D $196$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $196$
I sottraendi si possono scambiare: $280 - 80 = 200$ e poi $200 - 4 = 196$ . Chi risponde $200$ si è fermato al passaggio intermedio; $204$ ha aggiunto il $4$ invece di toglierlo; $356$ ha sommato l' $80$ invece di sottrarlo.
Quale di queste uguaglianze è falsa?
- A $13 + 8 + 2 = 13 + (8 + 2)$
- B $3 + 17 = 17 + 3$
- C $45 - 21 = 21 - 45$
- D $230 - 70 - 35 = 230 - (70 + 35)$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $45 - 21 = 21 - 45$
La sottrazione non è commutativa: $45 - 21 = 24$ , mentre $21 - 45$ fra i naturali non esiste. Le altre tre sono corrette: le prime due usano associativa e commutativa dell'addizione, l'ultima raccoglie i due sottraendi in uno solo.
Perché $79 + 56$ si può calcolare come $80 + 55$ ?
- A Perché si è tolto 1 a un addendo e aggiunto 1 all'altro
- B Perché si è aggiunto 1 a tutti e due gli addendi
- C Perché l'addizione è invariantiva
- D Perché si sono scambiati gli addendi
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. Perché si è tolto 1 a un addendo e aggiunto 1 all'altro
Il $79$ è salito a $80$ e il $56$ è sceso a $55$ : quello che si aggiunge da una parte si toglie dall'altra, e la somma resta $135$ . Aggiungere 1 a tutti e due darebbe invece $80 + 57 = 137$ , cioè due in più.
Calcola $76 - 17$ sottraendo per passi successivi.
- A $69$
- B $49$
- C $93$
- D $59$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $59$
Si toglie prima la decina e poi le unità: $76 - 10 = 66$ e $66 - 7 = 59$ . $69$ toglie soltanto il $7$ ; $49$ toglie il $10$ due volte; $93$ somma invece di sottrarre.
Quanto fa $50 - 10 - 20$ ?
- A $60$
- B $40$
- C $20$
- D $30$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $20$
Si possono sommare i due sottraendi e toglierli in una volta: $50 - (10 + 20) = 50 - 30 = 20$ . Chi risponde $40$ ha tolto solo il $10$ ; $30$ ha tolto solo il $20$ ; $60$ ha sommato uno dei due invece di sottrarlo.
La proprietà associativa dell'addizione dice che:
- A la somma non cambia se si cambia l'ordine degli addendi
- B a due o più addendi si può sostituire la loro somma
- C il risultato non cambia se si aggiunge lo stesso numero a tutti e due i termini
- D si può scomporre un addendo in un prodotto
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. a due o più addendi si può sostituire la loro somma
Associare vuol dire raggruppare: $13 + 8 + 2$ si può leggere come $13 + (8 + 2)$ . La prima risposta descrive la commutativa e la terza l'invariantiva della sottrazione; la quarta non è una proprietà dell'addizione.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

Apri la lezione interattiva