Matematica · 1ª media · Lezione 1 di 14

I numeri naturali e la scrittura posizionale

Il valore di una cifra dipende dal posto che occupa: classi, ordini e confronto sulla retta dei numeri.

Teoria in pillole

I numeri naturali sono i numeri interi che si ottengono partendo da $0$ e aggiungendo sempre $1$ . Servono a dire quanti sono gli oggetti di un gruppo, nell'uso cardinale, e a metterli in ordine, nell'uso ordinale. Formano un insieme infinito che si indica con ℕ e si scrive per elencazione: $ℕ = {0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $…}$ . Si scrivono con dieci cifre in un sistema posizionale in base 10: il valore di ogni cifra dipende dall'ordine che occupa, e ogni ordine vale dieci volte quello alla sua destra.

$4 305 = 4 \cdot 1000 + 305$

$305 = 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5$

$4 305 > 987$

$4 350 > 4 305$

sopra la scomposizione: ogni cifra vale secondo il posto che occupa. Sotto il confronto: fra due numeri è più grande quello con più cifre, e a parità di cifre si scorre da sinistra e decide la prima coppia diversa.

Le cifre si raggruppano di tre in tre in classi: unità, migliaia, milioni, miliardi. Dentro ogni classe l'ordine è sempre unità, decine, centinaia, e il numero si legge una classe per volta: $325 480$ è «trecentoventicinquemila quattrocentottanta».
La successione dei naturali si ottiene partendo da $0$ e aggiungendo sempre $1$ . Due numeri uno successivo all'altro si dicono consecutivi: $6$ e $7$ lo sono.
Una lettera come $n$ sta per un numero naturale qualsiasi: il successivo è $n + 1$ ; se il numero è maggiore di zero, il precedente è $n - 1$ . Ogni naturale ha un successivo, e per questo non esiste un naturale più grande di tutti.
Lo 0 è l'unico naturale senza precedente: apre la successione. Sulla retta dei numeri i naturali stanno a passi uguali e crescono verso destra, quindi confrontare due numeri vuol dire guardare quale dei due sta più a destra.

Lo zero non è un posto vuoto: dice che quell'ordine non c'è. In $208$ il 2 sta nelle centinaia, in $28$ sta nelle decine, e infatti sono due numeri diversi. Per lo stesso motivo gli zeri finali non si possono togliere: $40$ e $4$ non sono lo stesso numero.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: I numeri naturali e la scrittura posizionale

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Domande

Scrivi in cifre il numero tre milioni centomila settantuno.
- A $3 001 071$
- B $3 100 710$
- C $3 100 071$
- D $3 000 171$
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Risposta giusta: C. $3 100 071$
Tre milioni danno 3 nella classe dei milioni, centomila danno 100 nella classe delle migliaia e settantuno resta nelle unità: $3 100 071$ . Chi risponde $3 001 071$ ha messo centomila al posto di mille; $3 100 710$ scrive settantuno come 710; $3 000 171$ legge centomila come cento.
La cifra 2 vale lo stesso in $208$ e in $28$ ?
- A No: in $208$ vale 200, in $28$ vale 20
- B Sì: la cifra 2 vale sempre 2
- C No: in $208$ vale 20, in $28$ vale 200
- D Sì, perché in mezzo c'è soltanto uno zero
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Risposta giusta: A. No: in $208$ vale 200, in $28$ vale 20
Il valore di una cifra dipende dal posto. In $208$ il 2 occupa le centinaia e vale $200$ ; in $28$ occupa le decine e vale $20$ . Lo zero di $208$ non è un riempitivo: dice che le decine non ci sono, e proprio per questo sposta il 2 di un ordine.
Qual è il più grande fra i numeri naturali minori di $10 000$ ?
- A $10 000$
- B $9 000$
- C $9 990$
- D $9 999$
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Risposta giusta: D. $9 999$
Serve il numero che viene subito prima di $10 000$ , cioè $10 000 - 1 = 9 999$ . $10 000$ è escluso perché la domanda dice «minori»; $9 990$ e $9 000$ sono minori ma non i più grandi, perché fra loro e $10 000$ ci sono ancora altri numeri naturali.
Il numero $n$ è un naturale qualsiasi. Come si scrive il numero che lo precede?
- A $n + 1$
- B $n - 1$
- C $1 - n$
- D $n : 1$
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Risposta giusta: B. $n - 1$
Precedente vuol dire uno in meno: $n - 1$ . $n + 1$ è invece il successivo. $1 - n$ scambia l'ordine, e per $n$ maggiore di 1 non dà nemmeno un numero naturale; $n : 1$ lascia $n$ com'era.
Nel numero $47 205 630$ , in quale classe si trova la cifra 7?
- A Nei milioni
- B Nelle migliaia
- C Nelle unità
- D Nei miliardi
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Risposta giusta: A. Nei milioni
Si contano le cifre da destra a gruppi di tre: 630 sono le unità, 205 le migliaia, 47 i milioni. Il 7 sta nell'ultimo gruppo, quindi nella classe dei milioni. Chi risponde «migliaia» ha contato un gruppo di meno; per i miliardi servirebbe una cifra in più, e il numero non ce l'ha.
Quale numero è di mille maggiore di $405 036$ ?
- A $405 136$
- B $415 036$
- C $406 036$
- D $405 037$
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Risposta giusta: C. $406 036$
Aggiungere mille vuol dire aumentare di 1 la cifra delle migliaia: da $405 036$ si passa a $406 036$ . $405 136$ aggiunge cento, $415 036$ aggiunge diecimila, $405 037$ aggiunge uno.
Quali numeri naturali sono maggiori di 3 e minori o uguali a 7?
- A 3, 4, 5, 6, 7
- B 4, 5, 6, 7
- C 4, 5, 6
- D 3, 4, 5, 6
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Risposta giusta: B. 4, 5, 6, 7
«Maggiori di 3» esclude il 3, quindi si parte da 4; «minori o uguali a 7» comprende il 7, quindi si arriva fino a 7: sono 4, 5, 6, 7. 3, 4, 5, 6, 7 tiene dentro il 3, che non è maggiore di sé stesso; 4, 5, 6 butta via il 7, che invece è compreso; 3, 4, 5, 6 sbaglia tutti e due gli estremi.
Qual è il più piccolo numero naturale dispari maggiore di $789$ ?
- A $789$
- B $800$
- C $790$
- D $791$
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Risposta giusta: D. $791$
Dopo $789$ viene $790$ , che però è pari: il primo dispari è $791$ . $789$ è escluso perché deve essere maggiore di sé stesso; $800$ è pari, ed è anche molto più lontano.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Naturali: Cinque livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: valore posizionale, confronto e ordinamento, addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione, espressioni e problemi.

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