Matematica · 1ª media · Lezione 1 di 9

Addizioni e sottrazioni di frazioni con lo stesso denominatore

Sommare e sottrarre frazioni che hanno lo stesso denominatore, aiutandosi con i modelli, e ridurre il risultato ai minimi termini.

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Teoria in pillole

Due frazioni con lo stesso denominatore contano parti della stessa grandezza, quindi si sommano e si sottraggono contando le parti: cambia il numeratore, non il denominatore.

$\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$

tre quinti più quattro quinti fanno sette quinti: si sommano i numeratori, il denominatore resta com'è

Nell'addizione il numeratore è la somma dei numeratori, nella sottrazione la loro differenza.
Il denominatore comune si riscrive uguale: dice che parti si stanno contando, non quante.
Il risultato, se si può, si riduce ai minimi termini: $\frac{2}{4}$ si scrive $\frac{1}{2}$ .

I denominatori non si sommano. Scrivere $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{10}$ è l'errore più comune, e il modello lo smentisce subito: mettendo insieme parti dello stesso intero le parti non diventano più piccole.

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La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Addizioni e sottrazioni di frazioni con lo stesso denominatore

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Domande

Calcola $\frac{1}{8} + \frac{2}{8}$ .
- A $\frac{3}{8}$
- B $\frac{3}{16}$
- C $\frac{2}{8}$
- D $\frac{3}{10}$
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Risposta giusta: A. $\frac{3}{8}$
Si sommano i numeratori e si lascia il denominatore: $1 + 2 = 3$ , quindi il risultato è $\frac{3}{8}$ . La risposta $\frac{3}{16}$ nasce dal sommare anche i denominatori, cosa che cambierebbe la grandezza delle parti mentre si stanno solo contando.
Calcola $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{2}{2}$
- B $\frac{2}{4}$
- C $\frac{1}{2}$
- D $\frac{4}{4}$
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Risposta giusta: C. $\frac{1}{2}$
La differenza dei numeratori è $3 - 1 = 2$ , quindi si ottiene $\frac{2}{4}$ , che ridotto per 2 dà $\frac{1}{2}$ . $\frac{2}{4}$ è giusta come calcolo ma non è ai minimi termini; $\frac{2}{2}$ nasce dall'aver diviso per 2 il solo denominatore, e vale 1 invece di un mezzo; $\frac{4}{4}$ dal sommare invece di sottrarre.
Calcola $\frac{3}{5} + \frac{4}{5}$ .
- A $\frac{7}{10}$
- B $\frac{7}{5}$
- C $\frac{7}{25}$
- D $\frac{1}{5}$
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Risposta giusta: B. $\frac{7}{5}$
$3 + 4 = 7$ e il denominatore resta 5: il risultato è $\frac{7}{5}$ , una frazione maggiore di 1, che si può anche scrivere $1 \frac{2}{5}$ . $\frac{7}{10}$ nasce dal sommare i denominatori e $\frac{7}{25}$ dal moltiplicarli; $\frac{1}{5}$ dal sottrarre i numeratori invece di sommarli. Non c'è niente di strano nel superare l'intero: sette quinti sono un intero e due quinti.
Uno studente calcola $\frac{3}{5} + \frac{4}{5}$ e scrive $\frac{7}{10}$ . Perché è sbagliato?
- A Perché avrebbe dovuto sommare anche i numeratori fra loro
- B Perché $\frac{7}{10}$ non si può ridurre ai minimi termini
- C Perché il denominatore dice la grandezza delle parti, e mettendo insieme dei quinti le parti restano quinti
- D Perché il risultato di una addizione non può mai superare 1
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Risposta giusta: C. Perché il denominatore dice la grandezza delle parti, e mettendo insieme dei quinti le parti restano quinti
Sommando i denominatori si passa dai quinti ai decimi, cioè si cambia la grandezza delle parti nel bel mezzo del conto. Il risultato $\frac{7}{10}$ è addirittura minore di $\frac{4}{5}$ , uno dei due addendi: impossibile per una somma di quantità positive.
Calcola $\frac{5}{8} - \frac{3}{8}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{2}{8}$
- B $\frac{2}{4}$
- C $\frac{8}{8}$
- D $\frac{1}{4}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{4}$
La differenza dei numeratori è $5 - 3 = 2$ , quindi si ottiene $\frac{2}{8}$ , che diviso per 2 dà $\frac{1}{4}$ . Chi si ferma a $\frac{2}{8}$ ha calcolato bene ma non ha ridotto; chi risponde $\frac{2}{4}$ ha diviso per 2 il solo denominatore; chi risponde $\frac{8}{8}$ ha sommato i numeratori invece di sottrarli.
Calcola $\frac{4}{7} + \frac{3}{7}$ .
- A $1$
- B $\frac{7}{14}$
- C $\frac{7}{49}$
- D $\frac{1}{7}$
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Risposta giusta: A. $1$
$4 + 3 = 7$ , quindi si ottiene $\frac{7}{7}$ , e una frazione con numeratore uguale al denominatore vale esattamente 1: le sette parti su sette ricompongono l'intero. $\frac{7}{14}$ nasce dal sommare i denominatori, $\frac{7}{49}$ dal moltiplicarli, $\frac{1}{7}$ dal sottrarre i numeratori invece di sommarli.
Calcola $\frac{7}{9} - \frac{4}{9}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{3}{9}$
- B $\frac{3}{3}$
- C $\frac{11}{9}$
- D $\frac{1}{3}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{3}$
La differenza dei numeratori è $7 - 4 = 3$ , quindi si ottiene $\frac{3}{9}$ , che diviso per 3 dà $\frac{1}{3}$ . Chi si ferma a $\frac{3}{9}$ non ha ridotto; chi risponde $\frac{3}{3}$ ha diviso per 3 il solo denominatore, ottenendo 1; chi risponde $\frac{11}{9}$ ha sommato invece di sottrarre.
Perché, sommando due frazioni con lo stesso denominatore, il denominatore del risultato resta quello?
- A Perché i denominatori uguali si annullano fra loro
- B Perché il denominatore dice in quante parti è diviso l'intero, e mettendo insieme parti quel numero non cambia
- C Perché il denominatore si somma solo quando i due numeri sono diversi
- D Perché il denominatore è sempre il più piccolo dei numeri in gioco
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Risposta giusta: B. Perché il denominatore dice in quante parti è diviso l'intero, e mettendo insieme parti quel numero non cambia
Il denominatore descrive in quante parti uguali è tagliato l'intero, cioè quanto è grande una parte. Sommare due frazioni con lo stesso denominatore vuol dire contare insieme parti della stessa grandezza: cambia quante ne hai, non come sono tagliate.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.

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