Matematica · 1ª media · Capitolo

Operazioni con le frazioni

Le quattro operazioni con le frazioni, più la potenza e le espressioni: ognuna ha una condizione da rispettare prima di partire, e riconoscerla è metà del lavoro. Nove lezioni e una palestra a sei livelli.

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Di che cosa parla il capitolo

Con le frazioni si fanno le stesse quattro operazioni dei numeri naturali, ma ognuna chiede una condizione diversa prima di partire.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}$

nel prodotto si moltiplicano fra loro i numeratori e fra loro i denominatori

Prima addizione e sottrazione: con lo stesso denominatore, poi con denominatori diversi, dove prima si porta tutto a un denominatore comune.
Poi la moltiplicazione, che il denominatore comune non lo chiede, e la divisione, che diventa una moltiplicazione per l'inverso.
Infine la potenza di una frazione e le espressioni, dove tutte le regole si incontrano nello stesso calcolo.

Alla fine del capitolo sai quale operazione chiede il denominatore comune e quale no, e riduci il risultato ai minimi termini senza che nessuno te lo ricordi.

Le lezioni del capitolo

Esplora con la simulazione

Palestra delle espressioni con le frazioni: espressioni già pronte, in gruppi per operazioni: solo addizioni e sottrazioni, poi anche moltiplicazioni e divisioni, le parentesi tonde, le potenze, quadre e graffe (le radici sono per la 2ª). Scegli un gruppo e calcola l'espressione una riga alla volta, come alla lavagna. Puoi anche scrivere la tua.

La palestra del capitolo

Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.

Quiz di fine capitolo

Quanto fa $\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$ ?
- A $\frac{5}{14}$
- B $\frac{5}{7}$
- C $\frac{1}{7}$
- D $\frac{6}{7}$
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Risposta giusta: B. $\frac{5}{7}$
Quando il denominatore è già lo stesso si sommano solo i numeratori e il denominatore resta com'è: $3 + 2 = 5$ , quindi $\frac{5}{7}$ . Chi risponde $\frac{5}{14}$ ha sommato anche i denominatori: sarebbe come cambiare la dimensione delle fette mentre le si conta.
Quanto fa $2 \frac{3}{5} + 1 \frac{4}{5}$ ?
- A $3 \frac{7}{5}$
- B $3 \frac{7}{10}$
- C $4 \frac{2}{5}$
- D $4 \frac{7}{5}$
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Risposta giusta: C. $4 \frac{2}{5}$
Si sommano gli interi fra loro e le frazioni fra loro: $2 + 1 = 3$ e $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$ , che vale un intero più $\frac{2}{5}$ . Quell'intero va aggiunto ai tre, quindi il risultato è $4 \frac{2}{5}$ . Fermarsi a $3 \frac{7}{5}$ non è sbagliato nel valore, ma lascia una frazione maggiore di uno dentro un numero misto, che per definizione non la ammette.
Quanto fa $\frac{1}{6} + \frac{1}{2}$ , ridotto ai minimi termini?
- A $\frac{2}{3}$
- B $\frac{2}{8}$
- C $\frac{4}{6}$
- D $\frac{1}{8}$
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Risposta giusta: A. $\frac{2}{3}$
Si porta tutto a sesti: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ , quindi $\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6}$ , che ridotto fa $\frac{2}{3}$ . $\frac{4}{6}$ vale la stessa quantità ma non è ai minimi termini; $\frac{2}{8}$ nasce invece dal sommare numeratori e denominatori fra loro, che non è mai un'addizione di frazioni.
Tre amici mangiano ciascuno $\frac{2}{3}$ di pizza. Quanta pizza mangiano in tutto?
- A $\frac{2}{9}$ di pizza
- B $\frac{6}{9}$ di pizza
- C $\frac{2}{3}$ di pizza
- D 2 pizze
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Risposta giusta: D. 2 pizze
Moltiplicare una frazione per un numero naturale significa moltiplicare solo il numeratore: $3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$ , cioè due pizze intere. Chi risponde $\frac{6}{9}$ ha moltiplicato anche il denominatore, ottenendo meno di una pizza: impossibile, visto che ognuno ne mangia già più di mezza.
Quanto fa $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ , ridotto ai minimi termini?
- A $\frac{5}{7}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{6}{12}$
- D $\frac{8}{9}$
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{2}$
Si moltiplicano i numeratori fra loro e i denominatori fra loro: $2 \cdot 3 = 6$ e $3 \cdot 4 = 12$ , cioè $\frac{6}{12}$ , che ridotto fa $\frac{1}{2}$ . $\frac{8}{9}$ viene da un prodotto incrociato ( $2 \cdot 4$ sopra e $3 \cdot 3$ sotto): nella moltiplicazione fra frazioni non si incrocia mai niente.
Quanto fa $\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$ ?
- A $\frac{6}{20}$
- B $\frac{8}{15}$
- C $\frac{20}{6}$
- D $\frac{15}{8}$
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Risposta giusta: D. $\frac{15}{8}$
Dividere per una frazione significa moltiplicare per la sua inversa: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$ . $\frac{8}{15}$ nasce dall'aver capovolto la prima frazione invece della seconda, ed è proprio il reciproco del risultato giusto: se il numero che ottieni è l'esatto contrario di quello atteso, quasi sempre hai capovolto la frazione sbagliata.
Quanto vale ${(\frac{2}{3})}^{2}$ ?
- A $\frac{4}{9}$
- B $\frac{4}{3}$
- C $\frac{2}{9}$
- D $\frac{4}{6}$
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Risposta giusta: A. $\frac{4}{9}$
L'esponente vale per tutta la frazione, quindi si eleva sia il numeratore sia il denominatore: $2^{2} = 4$ e $3^{2} = 9$ , cioè $\frac{4}{9}$ . $\frac{4}{6}$ è quello che si ottiene raddoppiando sopra e sotto invece di elevare al quadrato: è una frazione equivalente a $\frac{2}{3}$ , quindi non può essere il suo quadrato.
Il signor Luigi spende $\frac{2}{5}$ dello stipendio per l'affitto e $\frac{1}{4}$ per le bollette. Quale frazione dello stipendio gli resta?
- A $\frac{13}{20}$
- B $\frac{3}{9}$
- C $\frac{7}{20}$
- D $\frac{7}{9}$
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Risposta giusta: C. $\frac{7}{20}$
Prima si sommano le due spese allo stesso denominatore: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ e $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ , quindi $\frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}$ . Quello che resta è l'intero meno le spese: $\frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$ . Chi risponde $\frac{13}{20}$ si è fermato alla somma e ha risposto solo a metà della domanda.

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