Potenza di una frazione

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Calcola ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$.

   • A $\frac{1}{2}$
   • B $\frac{2}{4}$
   • C $\frac{1}{4}$
   • D $1$
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   Risposta giusta: C. $\frac{1}{4}$

   L'esponente agisce sopra e sotto: $1^2=1$ e $2^2=4$, quindi $\frac{1}{4}$. Si controlla con la moltiplicazione: $\frac{1}{2}·\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, cioè la metà della metà.

2. Calcola ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2$.

   • A $\frac{6}{10}$
   • B $\frac{9}{25}$
   • C $\frac{9}{5}$
   • D $\frac{3}{25}$
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   Risposta giusta: B. $\frac{9}{25}$

   $3^2=9$ e $5^2=25$, quindi $\frac{9}{25}$. La risposta $\frac{6}{10}$ nasce dal raddoppiare invece di elevare al quadrato: elevare a potenza è una moltiplicazione ripetuta, non un raddoppio.

3. Calcola ${\left(\frac{2}{7}\right)}^2$.

   • A $\frac{4}{49}$
   • B $\frac{4}{14}$
   • C $\frac{2}{49}$
   • D $\frac{4}{7}$
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   Risposta giusta: A. $\frac{4}{49}$

   $2^2=4$ e $7^2=49$, quindi $\frac{4}{49}$. Chi risponde $\frac{2}{49}$ ha elevato al quadrato solo il denominatore, cioè ha calcolato $\frac{2}{7^2}$, che è un'altra scrittura.

4. Calcola ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$.

   • A $\frac{6}{9}$
   • B $\frac{8}{9}$
   • C $\frac{2}{27}$
   • D $\frac{8}{27}$
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   Risposta giusta: D. $\frac{8}{27}$

   L'esponente 3 agisce sopra e sotto: $2^3=8$ e $3^3=27$, quindi $\frac{8}{27}$. Ricostruendo dalla moltiplicazione, $\frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$.

5. Che differenza c'è fra ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ e $\frac{2}{3^2}$?

   • A Nessuna: le parentesi non cambiano il risultato
   • B La prima vale $\frac{2}{9}$ e la seconda $\frac{4}{9}$
   • C La prima vale $\frac{4}{9}$ e la seconda $\frac{2}{9}$, perché senza parentesi l'esponente agisce solo sul denominatore
   • D La seconda non si può scrivere
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   Risposta giusta: C. La prima vale $\frac{4}{9}$ e la seconda $\frac{2}{9}$, perché senza parentesi l'esponente agisce solo sul denominatore

   Le parentesi dicono su che cosa agisce l'esponente. In ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ agisce su tutta la frazione e dà $\frac{4}{9}$; in $\frac{2}{3^2}$ agisce solo sul 3 e dà $\frac{2}{9}$. Sono due numeri diversi, e li distingue solo la parentesi.

6. Calcola ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$.

   • A $\frac{1}{8}$
   • B $\frac{1}{6}$
   • C $\frac{3}{8}$
   • D $\frac{1}{5}$
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   Risposta giusta: A. $\frac{1}{8}$

   $1^3=1$ e $2^3=8$, quindi $\frac{1}{8}$. Chi risponde $\frac{1}{6}$ ha moltiplicato il denominatore per l'esponente invece di elevarlo a potenza: $2·3$ invece di $2·2·2$.

7. Quale frazione elevata al quadrato dà $\frac{16}{25}$?

   • A $\frac{8}{12}$
   • B $\frac{4}{5}$
   • C $\frac{16}{25}$
   • D $\frac{32}{50}$
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   Risposta giusta: B. $\frac{4}{5}$

   Bisogna trovare i numeri che al quadrato danno 16 e 25: sono 4 e 5, quindi la frazione è $\frac{4}{5}$. La prova è immediata: $\frac{4}{5}·\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$.

8. Nell'espressione $\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$, quale operazione si esegue per prima?

   • A L'addizione, perché è scritta per prima
   • B La riduzione di $\frac{1}{2}$ ai minimi termini
   • C Non conta l'ordine, il risultato è lo stesso
   • D La potenza ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$
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   Risposta giusta: D. La potenza ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$

   Le potenze vengono prima di addizioni e sottrazioni: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$, e solo dopo si somma, $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{9}{18}+\frac{2}{18}=\frac{11}{18}$. Sommando prima si otterrebbe un numero diverso e sbagliato.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.