Matematica · 1ª media · Lezione 8 di 9

Divisioni con le frazioni

Inverso di un numero e divisione fra frazioni: si moltiplica il dividendo per l'inverso del divisore.

Teoria in pillole

La divisione fra frazioni si esegue con una moltiplicazione: si moltiplica il dividendo per l'inverso del divisore. Due numeri sono inversi quando il loro prodotto fa 1.

$\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$

il divisore si capovolge e la divisione diventa una moltiplicazione

L'inverso di una frazione si ottiene capovolgendola: l'inverso di $\frac{2}{3}$ è $\frac{3}{2}$ , e $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ .
L'inverso di un numero naturale è la sua unità frazionaria: l'inverso di $4$ è $\frac{1}{4}$ .
Dividere per una frazione minore di 1 dà un risultato più grande del dividendo: in tre pizze ci stanno $12$ fette da un quarto.

Dividere per 2 e ridurre per 2 non sono la stessa cosa. Ridurre $\frac{8}{10}$ per 2 dà $\frac{4}{5}$ , che vale quanto prima; dividere $\frac{8}{10}$ per 2 dà $\frac{4}{10}$ , cioè la metà.

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La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Divisioni con le frazioni

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Domande

Qual è l'inverso di $\frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{5}{3}$
- B $- \frac{3}{5}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{1}{15}$
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Risposta giusta: A. $\frac{5}{3}$
L'inverso si ottiene capovolgendo la frazione, quindi $\frac{5}{3}$ . La prova è il prodotto: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{15}{15} = 1$ , che è proprio la definizione di numeri inversi.
Qual è l'inverso di $4$ ?
- A $4$
- B $- 4$
- C $\frac{4}{4}$
- D $\frac{1}{4}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{4}$
Il numero 4 si può scrivere $\frac{4}{1}$ , e capovolgendolo si ottiene $\frac{1}{4}$ . La prova: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ . La scrittura $\frac{4}{4}$ vale 1, quindi non è l'inverso di 4 ma il risultato del prodotto.
Calcola $\frac{1}{2} : 2$ .
- A $1$
- B $\frac{1}{4}$
- C $\frac{2}{2}$
- D $4$
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{4}$
Dividere per 2 è come moltiplicare per $\frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . È il problema di due amici che si dividono mezza pizza: a ciascuno tocca un quarto della pizza intera.
Quante fette da un quarto di pizza si ricavano da tre pizze intere?
- A $\frac{3}{4}$
- B $7$
- C $\frac{3}{12}$
- D $12$
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Risposta giusta: D. $12$
Si calcola $3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12$ . Qui il risultato è più grande del dividendo, ed è normale: si sta chiedendo quante volte una quantità piccola sta dentro una più grande.
Calcola $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{10}{18}$
- B $\frac{5}{9}$
- C $\frac{5}{4}$
- D $\frac{15}{12}$
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Risposta giusta: C. $\frac{5}{4}$
Si capovolge il divisore: $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12}$ , che ridotto per 3 dà $\frac{5}{4}$ . La risposta $\frac{15}{12}$ è giusta come calcolo ma non è ridotta; $\frac{10}{18}$ nasce dal moltiplicare senza capovolgere.
Che differenza c'è fra dividere $\frac{8}{10}$ per 2 e ridurre $\frac{8}{10}$ per 2?
- A Dividere dà $\frac{4}{10}$ , cioè la metà; ridurre dà $\frac{4}{5}$ , che vale ancora quanto prima
- B Nessuna: sono due modi di dire la stessa cosa
- C Dividere dà $\frac{4}{5}$ e ridurre dà $\frac{4}{10}$
- D Dividere si può fare solo se il numeratore è pari
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Risposta giusta: A. Dividere dà $\frac{4}{10}$ , cioè la metà; ridurre dà $\frac{4}{5}$ , che vale ancora quanto prima
Ridurre tocca sopra e sotto e non cambia il valore: $\frac{8}{10}$ e $\frac{4}{5}$ sono lo stesso numero. Dividere per 2 dimezza la quantità: $\frac{8}{10} : 2 = \frac{8}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{20} = \frac{4}{10}$ . Stesse cifre in gioco, due operazioni diverse.
Luigi imbottiglia 60 litri di vino in bottiglie da $\frac{3}{4}$ di litro. Quante bottiglie gli occorrono?
- A $45$
- B $180$
- C $80$
- D $20$
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Risposta giusta: C. $80$
Si calcola $60 : \frac{3}{4} = 60 \cdot \frac{4}{3} = \frac{240}{3} = 80$ bottiglie. Chi risponde $45$ ha moltiplicato per $\frac{3}{4}$ invece di dividere, cioè ha calcolato tre quarti di 60.
Calcola $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{8}{27}$
- B $\frac{3}{2}$
- C $\frac{18}{12}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: B. $\frac{3}{2}$
Si capovolge il divisore: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12}$ , che ridotto per 6 dà $\frac{3}{2}$ . La risposta $\frac{8}{27}$ nasce dal moltiplicare senza capovolgere, cioè dall'aver eseguito una moltiplicazione al posto della divisione.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.

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