Matematica · 1ª media · Lezione 3 di 9

Addizioni e sottrazioni di frazioni

Portare le frazioni allo stesso denominatore con un'espansione o una riduzione, poi addizionare o sottrarre i numeratori.

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Teoria in pillole

Due frazioni si possono sommare o sottrarre solo se contano parti della stessa grandezza. Quando i denominatori sono diversi, quindi, il primo passo è sempre lo stesso: portarle allo stesso denominatore.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

prima si espandono le due frazioni a dodicesimi, poi si sommano i numeratori

Il denominatore comune si trova con il minimo comune multiplo dei due denominatori: fra 3 e 4 è 12.
Ogni frazione si porta a quel denominatore con un'espansione, e a volte con una riduzione.
Poi si sommano o si sottraggono i numeratori, e il risultato si riduce ai minimi termini.

Senza denominatore comune la somma non si può fare: si starebbero contando insieme parti di grandezza diversa, come sommare terzi e quarti pretendendo che siano la stessa cosa.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Addizioni e sottrazioni di frazioni

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Domande

Calcola $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ .
- A $\frac{2}{7}$
- B $\frac{2}{12}$
- C $\frac{7}{12}$
- D $\frac{5}{12}$
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Risposta giusta: C. $\frac{7}{12}$
Il denominatore comune è 12: $\frac{1}{3}$ diventa $\frac{4}{12}$ e $\frac{1}{4}$ diventa $\frac{3}{12}$ , quindi la somma è $\frac{7}{12}$ . La risposta $\frac{2}{7}$ nasce dal sommare separatamente numeratori e denominatori, che darebbe una frazione più piccola di entrambi gli addendi.
Qual è il denominatore comune più piccolo per sommare $\frac{2}{5}$ e $\frac{1}{6}$ ?
- A $11$
- B $5$
- C $60$
- D $30$
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Risposta giusta: D. $30$
Serve un multiplo comune di 5 e 6, e il più piccolo è $30$ . Anche $60$ funzionerebbe, ma costringe a numeri più grandi e a una riduzione in più alla fine; $11$ è la somma dei due denominatori, che non è un multiplo di nessuno dei due.
Calcola $\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ .
- A $\frac{2}{2}$
- B $\frac{1}{4}$
- C $\frac{3}{2}$
- D $\frac{2}{4}$
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{4}$
Si porta $\frac{1}{2}$ a quarti: diventa $\frac{2}{4}$ , e $\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ . Chi risponde $\frac{2}{2}$ ha sottratto separatamente numeratori e denominatori, ottenendo 1, che è addirittura più grande della frazione di partenza.
Calcola $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ .
- A $\frac{5}{15}$
- B $\frac{5}{10}$
- C $\frac{7}{10}$
- D $\frac{1}{2}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $\frac{7}{10}$
Il denominatore 10 è già multiplo di 5, quindi basta espandere $\frac{2}{5}$ in $\frac{4}{10}$ : $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ . Chi risponde $\frac{5}{10}$ ha sommato i numeratori senza prima espandere, e $\frac{1}{2}$ è lo stesso errore con il risultato ridotto; $\frac{5}{15}$ nasce dal sommare anche i denominatori.
Uno studente calcola $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ e scrive $\frac{2}{7}$ . Perché è sbagliato?
- A Perché avrebbe dovuto sommare solo i denominatori
- B Perché $\frac{2}{7}$ non è ridotta ai minimi termini
- C Perché il risultato di una somma deve essere maggiore di 1
- D Perché sommando anche i denominatori si cambia la grandezza delle parti, e $\frac{2}{7}$ è più piccolo di $\frac{1}{3}$
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Risposta giusta: D. Perché sommando anche i denominatori si cambia la grandezza delle parti, e $\frac{2}{7}$ è più piccolo di $\frac{1}{3}$
Il controllo più rapido è il buon senso: $\frac{2}{7}$ vale circa $0,29$ , meno di $\frac{1}{3}$ , che vale circa $0,33$ . Una somma di due quantità positive non può essere minore di uno dei due addendi. L'errore è aver sommato i denominatori, che descrivono la grandezza delle parti e non si contano.
Calcola $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ e riduci ai minimi termini.
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{4}{3}$
- C $\frac{2}{6}$
- D $\frac{4}{6}$
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Risposta giusta: A. $\frac{1}{2}$
Si porta $\frac{1}{3}$ a sesti: diventa $\frac{2}{6}$ , e $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$ , che ridotto per 3 dà $\frac{1}{2}$ . Chi risponde $\frac{4}{3}$ ha sottratto separatamente sopra e sotto, ottenendo un numero maggiore di 1.
Per portare $\frac{2}{3}$ a dodicesimi, per quanto devi moltiplicare i due termini, e che frazione ottieni?
- A Per $9$ , e si ottiene $\frac{18}{27}$
- B Per $4$ , e si ottiene $\frac{8}{12}$
- C Per $12$ , e si ottiene $\frac{24}{36}$
- D Per $3$ , e si ottiene $\frac{6}{9}$
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Risposta giusta: B. Per $4$ , e si ottiene $\frac{8}{12}$
Il fattore si trova dal denominatore: $3 \cdot 4 = 12$ , quindi il fattore è 4 e la frazione diventa $\frac{8}{12}$ . Moltiplicare per 12 porterebbe a 36 al denominatore, non a 12.
Calcola $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ .
- A $1$
- B $\frac{3}{11}$
- C $\frac{3}{6}$
- D $\frac{1}{2}$
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Risposta giusta: A. $1$
Il denominatore comune è 6: le tre frazioni diventano $\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{6}$ e $\frac{1}{6}$ , che sommate danno $\frac{6}{6}$ , cioè esattamente 1. È un caso da ricordare: mezzo, un terzo e un sesto ricompongono l'intero.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.

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