Matematica · 1ª media · Lezione 6 di 9

Moltiplicare una frazione per un numero naturale

Dall'addizione ripetuta alla moltiplicazione: si moltiplica il numeratore per il numero naturale.

Teoria in pillole

Moltiplicare una frazione per un numero naturale è un'addizione ripetuta: $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ si scrive $\frac{1}{5} \cdot 3$ , e vale $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5}$

si moltiplica il numeratore per il numero naturale, il denominatore non cambia

Il denominatore resta lo stesso perché le parti non cambiano grandezza: se ne prendono soltanto di più.
Da qui nasce una scorciatoia: la frazione di un numero si può calcolare moltiplicando, e il «di» diventa «per». $\frac{3}{5}$ di $30$ si scrive $\frac{3}{5} \cdot 30$ e fa $18$ .
Il risultato si riduce quando è possibile.

Il numero naturale moltiplica solo il numeratore. Scrivere $\frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{15}$ vuol dire moltiplicare anche il denominatore, e allora la frazione non cambia valore: quella è un'espansione, non una moltiplicazione.

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Mappa mentale: Moltiplicare una frazione per un numero naturale

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Domande

Calcola $\frac{1}{5} \cdot 3$ .
- A $\frac{1}{15}$
- B $\frac{3}{15}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{4}{5}$
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Risposta giusta: C. $\frac{3}{5}$
È come sommare tre volte $\frac{1}{5}$ : si moltiplica il numeratore e si lascia il denominatore, quindi $\frac{3}{5}$ . La risposta $\frac{3}{15}$ nasce dal moltiplicare anche il denominatore, e vale ancora $\frac{1}{5}$ : non è cambiato niente.
Calcola $\frac{2}{3} \cdot 3$ .
- A $2$
- B $\frac{2}{9}$
- C $\frac{6}{9}$
- D $\frac{5}{3}$
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Risposta giusta: A. $2$
$2 \cdot 3 = 6$ e il denominatore resta 3: si ottiene $\frac{6}{3}$ , cioè esattamente $2$ . Ha senso: prendere tre volte due terzi vuol dire prendere sei terzi, e sei terzi sono due interi.
Tre amici mangiano ciascuno due terzi di pizza. Quante pizze mangiano in tutto?
- A $\frac{2}{9}$ di pizza
- B $2$ pizze
- C $\frac{6}{9}$ di pizza
- D $\frac{3}{2}$ di pizza
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Risposta giusta: B. $2$ pizze
Si calcola $\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3} = 2$ : in tutto due pizze intere. Il modello lo conferma: sei fette da un terzo riempiono esattamente due pizze divise in tre.
Calcola $\frac{3}{5} \cdot 30$ .
- A $\frac{90}{5}$
- B $6$
- C $\frac{90}{150}$
- D $18$
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Risposta giusta: D. $18$
$3 \cdot 30 = 90$ e il denominatore resta 5: si ottiene $\frac{90}{5}$ , cioè $18$ . Si può anche fare come sempre, $30 : 5 = 6$ e poi $6 \cdot 3 = 18$ : è lo stesso conto scritto in un altro ordine. La risposta $6$ si ferma all'unità frazionaria.
Uno studente calcola $\frac{3}{5} \cdot 3$ e scrive $\frac{9}{15}$ . Che cosa ha fatto?
- A Ha moltiplicato solo il denominatore
- B Ha moltiplicato anche il denominatore, quindi ha espanso la frazione invece di moltiplicarla
- C Ha sommato il numero naturale al numeratore
- D Ha ridotto la frazione ai minimi termini
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Risposta giusta: B. Ha moltiplicato anche il denominatore, quindi ha espanso la frazione invece di moltiplicarla
Moltiplicando sopra e sotto per 3 si ottiene una frazione equivalente: $\frac{9}{15}$ vale ancora $\frac{3}{5}$ , cioè il numero di partenza. La moltiplicazione deve invece aumentare la quantità, e per farlo tocca solo il numeratore: il risultato è $\frac{9}{5}$ .
Calcola $\frac{3}{8} \cdot 56$ .
- A $7$
- B $\frac{168}{8}$
- C $21$
- D $\frac{3}{448}$
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Risposta giusta: C. $21$
Conviene semplificare prima: $56 : 8 = 7$ , quindi $\frac{3}{8} \cdot 56 = 3 \cdot 7 = 21$ . Facendo prima il prodotto si ottiene $\frac{168}{8}$ , che è lo stesso numero non ancora ridotto. La risposta $7$ si ferma all'unità frazionaria, cioè a $\frac{1}{8}$ di 56.
Calcola $\frac{2}{9}$ del numero 900.
- A $\frac{1800}{9}$
- B $100$
- C $450$
- D $200$
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Risposta giusta: D. $200$
Il «di» diventa «per»: $\frac{2}{9} \cdot 900$ . Semplificando prima, $900 : 9 = 100$ , e poi $100 \cdot 2 = 200$ . Chi risponde $100$ si è fermato a un nono; chi risponde $450$ ha calcolato la metà, cioè ha usato la frazione sbagliata.
Perché, moltiplicando una frazione per un numero naturale, il denominatore non cambia?
- A Perché il denominatore dice quanto è grande una parte, e prendendone di più le parti restano della stessa grandezza
- B Perché il denominatore si moltiplica solo quando è più grande del numeratore
- C Perché moltiplicare per un numero naturale è la stessa cosa che espandere
- D Perché il denominatore non si può mai cambiare
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Risposta giusta: A. Perché il denominatore dice quanto è grande una parte, e prendendone di più le parti restano della stessa grandezza
Moltiplicare per 3 vuol dire prendere tre volte quella quantità, non tagliarla in modo diverso: le parti restano quinti, e cambia solo quante se ne prendono. Il denominatore cambia quando si espande o si riduce, e quelle non aumentano il valore.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Operazioni con le Frazioni: Sei livelli ricavati dall'unità sulle operazioni della Palestra di Aritmetica: addizioni, sottrazioni, prodotti, divisioni, potenze ed espressioni.

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