Matematica · 3ª media · Lezione 1 di 9

Ripasso delle potenze

Ripasso di prima e seconda media: cos'è una potenza, come si calcola il suo valore, il segno del risultato con basi negative, l'esponente 1, le potenze di frazioni e decimali, e come riconoscere quadrati e cubi.

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Teoria in pillole

Una potenza è la scrittura abbreviata di un prodotto di fattori tutti uguali. La base è il fattore che si ripete, l'esponente dice quante volte compare come fattore.

I termini

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

L'esponente non è un moltiplicatore:

2^{5}

non è

2 \cdot 5

, che farebbe

10

Base negativa, esponente pari

${(- 2)}^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$

${(- 2)}^{4} = 16$

I fattori negativi sono in numero pari, quindi i segni si accoppiano tutti e il risultato è positivo.

Base negativa, esponente dispari

${(- 2)}^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$

${(- 2)}^{3} = - 8$

I fattori negativi sono in numero dispari, quindi ne resta uno spaiato e il risultato è negativo.

Con esponente $1$ il valore coincide con la base: $7^{1} = 7$ .
Una potenza con base $1$ vale sempre $1$ , qualunque sia l'esponente.
Le potenze di $10$ si leggono a colpo d'occhio: l'esponente dice quanti zeri seguono l'uno, e $10^{5} = 100 000$ .

Le parentesi decidono a chi appartiene il segno. In ${(- 2)}^{4}$ la base è $- 2$ e il risultato è $16$ ; in $- 2^{4}$ la base è $2$ , la potenza si calcola per prima e il segno meno resta fuori, quindi il risultato è $- 16$ . Sono due numeri diversi, e la differenza sta tutta in due parentesi.

La mappa

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Domande

Nella scrittura $5^{4}$ , che cosa rappresenta il numero 4?
- A La base: il fattore che si ripete nella moltiplicazione
- B Il risultato della moltiplicazione 5·4
- C L'esponente: indica quante volte la base 5 va usata come fattore nella moltiplicazione
- D Il numero di cifre del risultato
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Risposta giusta: C. L'esponente: indica quante volte la base 5 va usata come fattore nella moltiplicazione
Nella potenza $5^{4}$ la base è 5, cioè il fattore che si ripete (5·5·5·5), mentre l'esponente è 4 e indica quante volte la base compare nella moltiplicazione. Il risultato della moltiplicazione 5·4 è tutt'altra cosa: darebbe 20, non il valore della potenza. Anche il numero di cifre del risultato non c'entra con il significato dell'esponente.
Quanto vale $2^{6}$ ?
- A 64
- B 12
- C 36
- D 32
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Risposta giusta: A. 64
$2^{6}$ significa 2·2·2·2·2·2 = 64. Un errore frequente è moltiplicare base ed esponente (2·6 = 12) invece di ripetere la base come fattore. 36 nasce dallo scambio di base ed esponente, cioè dal calcolo di $6^{2}$ invece di $2^{6}$ . 32 è invece il valore di $2^{5}$ , un fattore in meno.
Quanto vale ${(- 3)}^{3}$ ?
- A 27
- B −9
- C 9
- D −27
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Risposta giusta: D. −27
${(- 3)}^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$ : con esponente dispari il segno della base negativa si mantiene nel risultato. 27 dimentica il segno meno. −9 e 9 nascono dal calcolare per errore il quadrato ${(- 3)}^{2}$ invece del cubo, fermandosi a due fattori invece di tre.
Quanto vale ${(- 2)}^{4}$ ?
- A −16
- B 16
- C 8
- D −8
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Risposta giusta: B. 16
${(- 2)}^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 16$ : con esponente pari, il prodotto di quattro fattori negativi dà un risultato positivo. −16 nasce dal pensare che una base negativa dia sempre un risultato negativo, ignorando la regola del segno pari/dispari. 8 e −8 corrispondono a 2·4, cioè a moltiplicare base ed esponente invece di elevare a potenza.
Qual è la differenza tra $- 5^{2}$ e ${(- 5)}^{2}$ ?
- A $- 5^{2}$ vale −25 (si eleva solo il 5, il segno meno resta fuori); ${(- 5)}^{2}$ vale 25 (si eleva l'intero −5, segno compreso)
- B Sono la stessa scrittura: valgono entrambe 25
- C $- 5^{2}$ vale 25 e ${(- 5)}^{2}$ vale −25
- D Valgono entrambe −25, perché la base è negativa in entrambi i casi
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Risposta giusta: A. $- 5^{2}$ vale −25 (si eleva solo il 5, il segno meno resta fuori); ${(- 5)}^{2}$ vale 25 (si eleva l'intero −5, segno compreso)
In $- 5^{2}$ il segno meno non fa parte della base: si eleva solo 5 ( $5^{2} = 25$ ) e poi si applica il segno meno davanti, ottenendo −25. In ${(- 5)}^{2}$ invece le parentesi includono il segno nella base, quindi si eleva −5 al quadrato: (−5)·(−5) = 25. Trattare le due scritture come equivalenti, o scambiare i risultati, è l'errore più comune con questa notazione.
Quanto vale $17^{1}$ ?
- A 1
- B 18
- C 17
- D 0
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Risposta giusta: C. 17
Qualunque numero elevato a esponente 1 resta invariato: $17^{1} = 17$ , perché la base compare una sola volta come fattore. Pensare che il risultato sia sempre 1 confonde questa regola con quella, diversa, dell'esponente 0. 0 e 18 non hanno alcun legame con il significato dell'esponente 1.
Quanto vale ${(\frac{2}{3})}^{2}$ ?
- A $\frac{4}{3}$
- B $\frac{2}{9}$
- C $\frac{4}{6}$
- D $\frac{4}{9}$
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Risposta giusta: D. $\frac{4}{9}$
${(\frac{2}{3})}^{2}$ significa $(\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3})$ : si eleva al quadrato sia il numeratore sia il denominatore, ottenendo $\frac{4}{9}$ . $\frac{4}{3}$ ha elevato al quadrato solo il numeratore, lasciando il denominatore invariato. $\frac{2}{9}$ ha fatto l'opposto, elevando solo il denominatore. $\frac{4}{6}$ nasce dal trattare l'esponente 2 come un raddoppio, moltiplicando per 2 numeratore e denominatore invece di elevarli a potenza.
Quanto vale ${0,2}^{3}$ ?
- A 0,6
- B 0,008
- C 0,08
- D 0,006
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Risposta giusta: B. 0,008
${0,2}^{3} = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$ : ogni fattore con una cifra dopo la virgola aggiunge una cifra decimale al risultato, quindi tre fattori danno tre cifre decimali. 0,6 nasce dal moltiplicare 0,2 per 3 invece di elevarlo al cubo. 0,08 ha una cifra decimale in meno del dovuto (conteggio sbagliato), 0,006 sbaglia la cifra finale del prodotto.
Quale tra questi numeri è sia un quadrato perfetto sia un cubo perfetto?
- A 64
- B 36
- C 100
- D 125
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Risposta giusta: A. 64
64 è sia un quadrato perfetto $(8^{2} = 64)$ sia un cubo perfetto $(4^{3} = 64)$ . 36 è un quadrato $(6^{2} = 36)$ ma non è il cubo di nessun numero intero. 100 è un quadrato $(10^{2} = 100)$ ma non è un cubo perfetto. 125 è un cubo $(5^{3} = 125)$ ma non è un quadrato perfetto.
Un dado ha lo spigolo di 2 cm. Come si calcola, tramite una potenza, il suo volume?
- A $2^{2} = 4$ ${cm}^{3}$
- B $3^{2} = 9$ ${cm}^{3}$
- C $6 {cm}^{3}$ (2 · 3)
- D $2^{3} = 8$ ${cm}^{3}$
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Risposta giusta: D. $2^{3} = 8$ ${cm}^{3}$
Il volume di un cubo si calcola elevando al cubo la misura dello spigolo: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ${cm}^{3}$ . $2^{2} = 4$ ${cm}^{3}$ userebbe la formula dell'area di un quadrato, non del volume di un cubo. $3^{2} = 9$ ${cm}^{3}$ scambia base ed esponente. $6 {cm}^{3}$ , ottenuto moltiplicando 2·3, confonde ancora la potenza con una semplice moltiplicazione tra base ed esponente.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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