Potenze e ordini di grandezza · 3ª media

Di che cosa parla il capitolo

Una potenza abbrevia un prodotto di fattori uguali. Il capitolo trasforma quell'abbreviazione in uno strumento per scrivere, confrontare e calcolare numeri enormi e numeri minuscoli, che scritti per esteso sarebbero illeggibili e pieni di zeri da contare.

La scrittura del capitolo

$a \cdot 10^{n}$

Un numero compreso fra

1

incluso e

10

escluso, moltiplicato per una potenza di dieci. L'esponente è positivo per i numeri grandi, negativo per quelli minori di

1

.

Il filo che unisce le due metà

$(3 \cdot 10^{5}) \cdot (2 \cdot 10^{3}) = 6 \cdot 10^{8}$

Le proprietà delle potenze si applicano alla base dieci: si moltiplicano i due numeri davanti e si addizionano gli esponenti.

Prima le proprietà: stessa base, potenza di potenza, potenza di un prodotto e di un quoziente.
Poi i due casi che completano le regole: esponente zero ed esponente negativo.
Quindi la notazione scientifica, nelle due direzioni: numeri grandi e numeri piccoli.
Poi l'ordine di grandezza, che serve a confrontare quantità di scala molto diversa senza calcolarle.
Infine le potenze fuori dalla matematica: i sistemi di numerazione e la memoria di un computer.

Alla fine del capitolo confronterai due numeri scritti in notazione scientifica senza contarne gli zeri, e saprai dire quante volte uno è più grande dell'altro.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

Quiz di fine capitolo

Quanto vale $5^{4} \cdot 5^{3}$ ?
- A $5^{12}$
- B $5^{7}$
- C $25^{7}$
- D $25^{12}$
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Risposta giusta: B. $5^{7}$
Nel prodotto di potenze con la stessa base, la base resta invariata e gli esponenti si SOMMANO: 4 + 3 = 7. Chi risponde $5^{12}$ ha moltiplicato gli esponenti (quella è la regola della potenza di potenza), chi risponde $25^{7}$ ha moltiplicato le basi: la base non si tocca mai.
Marco scrive $x^{3} \cdot x^{4} = x^{12}$ . Sara scrive $x^{3} \cdot y^{4} = {(x \cdot y)}^{7}$ . Chi ha applicato correttamente le proprietà delle potenze?
- A Nessuno dei due
- B Solo Marco
- C Solo Sara
- D Entrambi
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Risposta giusta: A. Nessuno dei due
Marco ha moltiplicato gli esponenti invece di sommarli: il risultato giusto è $x^{7}$ . Sara ha applicato la proprietà a basi DIVERSE (x e y): le proprietà delle potenze valgono solo se le basi sono uguali, quindi $x^{3} \cdot y^{4}$ non si può semplificare così. Prima di applicare una proprietà, controlla sempre che le basi coincidano.
Quanto vale ${(3^{2})}^{4}$ ?
- A $3^{6}$
- B $3^{8}$
- C $9^{8}$
- D $6^{4}$
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Risposta giusta: B. $3^{8}$
Nella potenza di potenza gli esponenti si MOLTIPLICANO: 2 · 4 = 8. L'errore classico è sommarli $(3^{6})$ , confondendo questa regola con quella del prodotto $3^{2} \cdot 3^{4}$ , dove invece si sommano. Trucco per ricordarlo: ${(3^{2})}^{4} = 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}$ , cioè l'esponente 2 ripetuto 4 volte.
Quanto vale $2^{- 3}$ ?
- A −8
- B $\frac{1}{8}$
- C $- \frac{1}{8}$
- D −6
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{8}$
L'esponente negativo NON rende negativo il numero: indica il reciproco della base con esponente positivo, cioè $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$ . Il segno meno agisce sull'esponente, non sul risultato. Conviene trasformare subito l'esponente negativo in frazione, prima di fare qualsiasi altro calcolo.
Quanto vale ${(- 5)}^{0}$ ?
- A 0
- B −5
- C 1
- D −1
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Risposta giusta: C. 1
Qualsiasi base diversa da zero elevata a esponente 0 dà sempre 1, anche se la base è negativa. Non serve calcolare nulla: si sostituisce direttamente con 1. Attenzione all'unico caso vietato: $0^{0}$ non ha significato, perché la regola vale solo con base diversa da zero.
Il diametro di un granello di polline è circa 0,00042 metri. Come si scrive in notazione scientifica?
- A $4,2 \cdot 10^{4}$
- B $42 \cdot 10^{- 5}$
- C $0,42 \cdot 10^{- 3}$
- D $4,2 \cdot 10^{- 4}$
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Risposta giusta: D. $4,2 \cdot 10^{- 4}$
In notazione scientifica il coefficiente deve stare tra 1 e 10 (1 ≤ a < 10): sposto la virgola di 4 posizioni verso destra e ottengo 4,2. Poiché il numero di partenza è più piccolo di 1, l'esponente è NEGATIVO: $10^{- 4}$ . Le scritture $42 \cdot 10^{- 5}$ e $0,42 \cdot 10^{- 3}$ hanno lo stesso valore, ma non sono notazione scientifica corretta perché il coefficiente non è tra 1 e 10; $4,2 \cdot 10^{4}$ sbaglia il segno dell'esponente e vale 42 000 metri!
Un segnale radio viaggia alla velocità della luce, $3 \cdot 10^{5}$ km/s. Quanto impiega a percorrere i $6 \cdot 10^{8}$ km che ci separano da Giove?
- A $2 \cdot 10^{13}$ s
- B $2 \cdot 10^{3}$ s
- C $5 \cdot 10^{- 4}$ s
- D $2 \cdot 10^{4}$ s
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Risposta giusta: B. $2 \cdot 10^{3}$ s
Tempo = distanza : velocità. Si dividono separatamente i coefficienti (6 : 3 = 2) e le potenze di dieci con la proprietà del quoziente: $10^{8} : 10^{5} = 10^{8 - 5} = 10^{3}$ . Risultato: $2 \cdot 10^{3}$ s, cioè 2000 secondi (circa 33 minuti). Chi ottiene $2 \cdot 10^{13}$ ha sommato gli esponenti invece di sottrarli; chi ottiene $5 \cdot 10^{- 4}$ ha rovesciato la divisione (velocità : distanza).
La popolazione di un paese è circa $7,3 \cdot 10^{6}$ abitanti. Qual è l'ordine di grandezza di questo numero?
- A $10^{6}$
- B $10^{7}$
- C $7 \cdot 10^{6}$
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Risposta giusta: B. $10^{7}$
L'ordine di grandezza è la potenza di dieci PIÙ VICINA al numero. Il coefficiente 7,3 è più vicino a 10 che a 1, quindi si arrotonda a 10 e l'esponente sale di uno: $10^{7}$ . L'errore tipico è copiare l'esponente senza guardare il coefficiente $(10^{6})$ . E $7 \cdot 10^{6}$ non è un ordine di grandezza: l'ordine di grandezza è sempre una potenza di dieci pura, senza coefficiente.