Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 9

Proprietà delle potenze con la stessa base

Le tre regole per moltiplicare, dividere ed elevare a potenza le potenze con la stessa base: la base non si tocca, cambia solo l'esponente — e capire subito quando queste regole NON si possono usare.

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Teoria in pillole

Tre proprietà permettono di semplificare prodotti, quozienti e potenze di potenze, ma valgono soltanto fra potenze con la stessa base. In tutte e tre la base non si tocca: quello che cambia è l'esponente.

Prodotto: gli esponenti si addizionano

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

$3^{2} \cdot 3^{3} = 3^{5} = 243$

Non è una convenzione da ricordare: due fattori tre seguiti da tre fattori tre sono cinque fattori tre.

Quoziente: gli esponenti si sottraggono

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

$7^{5} : 7^{2} = 7^{3} = 343$

La base deve essere diversa da zero. Si sottrae l'esponente del divisore da quello del dividendo, in quest'ordine.

Potenza di potenza: gli esponenti si moltiplicano

${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

${(5^{2})}^{3} = 5^{6}$

5^{2}

ripetuto tre volte come fattore dà sei fattori cinque in tutto.

Le tre proprietà si leggono anche al contrario: $2^{7}$ si può riscrivere come $2^{4} \cdot 2^{3}$ quando conviene.
Se le basi sono diverse non c'è niente da semplificare: $2^{3} \cdot 5^{3}$ resta com'è, e per quel caso serve un'altra proprietà.
Prima di applicare una proprietà conviene controllare la base: è l'unico requisito, ed è anche l'unico che si dimentica.

Il prodotto e la potenza di potenza si somigliano e portano a due risultati diversi: $3^{2} \cdot 3^{3}$ vale $3^{5}$ , mentre ${(3^{2})}^{3}$ vale $3^{6}$ . Nel primo caso gli esponenti si addizionano, nel secondo si moltiplicano. E in nessuno dei due la base cambia: $3^{2} \cdot 3^{3}$ non è $9^{5}$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Proprietà delle potenze con la stessa base

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Domande

Quale potenza è equivalente a $3^{5} \cdot 3^{2}$ ?
- A $6^{7}$
- B $3^{10}$
- C $3^{7}$
- D $9^{5}$
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Risposta giusta: C. $3^{7}$
Nel prodotto di potenze con la stessa base la base resta invariata e gli esponenti si sommano: $3^{5} \cdot 3^{2} = 3^{5 + 2} = 3^{7}$ . Scrivere $6^{7}$ significa aver sommato le basi (3+3=6) invece di tenerla invariata. $3^{10}$ nasce da un errore opposto: moltiplicare gli esponenti (5·2=10) come nella potenza di potenza, non nel prodotto. $9^{5}$ moltiplica le basi (3·3=9) mantenendo solo uno degli esponenti.
Calcola $2^{3} \cdot 2^{4}$ .
- A 128
- B 24
- C 4096
- D 16384
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Risposta giusta: A. 128
$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7} = 128$ (si può verificare anche calcolando $2^{3} = 8$ e $2^{4} = 16$ , poi 8·16=128). 24 nasce sommando i due valori (8+16) invece di moltiplicarli. $4096 = 2^{12}$ si ottiene moltiplicando gli esponenti (3·4=12) come nella potenza di potenza. $16384 = 4^{7}$ nasce sommando le basi (2+2=4) e tenendo la somma degli esponenti.
Quale potenza è equivalente a $5^{9} : 5^{4}$ ?
- A $5^{13}$
- B $5^{5}$
- C $25^{5}$
- D $5^{36}$
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Risposta giusta: B. $5^{5}$
Nel quoziente di potenze con la stessa base la base resta invariata e si sottrae l'esponente del divisore da quello del dividendo: $5^{9} : 5^{4} = 5^{9 - 4} = 5^{5}$ . $5^{13}$ nasce sommando gli esponenti invece di sottrarli (9+4=13). $25^{5}$ moltiplica le basi (5·5=25) mantenendo la differenza degli esponenti. $5^{36}$ moltiplica gli esponenti (9·4=36) come nella potenza di potenza.
In laboratorio una massa di $10^{7}$ mg viene divisa in $10^{3}$ campioni identici. Quanto pesa ciascun campione, espresso come potenza di 10?
- A $10^{10}$
- B $100^{4}$
- C $10^{21}$
- D $10^{4}$
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Risposta giusta: D. $10^{4}$
Dividendo masse espresse come potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $10^{7} : 10^{3} = 10^{7 - 3} = 10^{4}$ mg. $10^{10}$ nasce sommando gli esponenti (7+3=10) invece di sottrarli. $10^{21}$ moltiplica gli esponenti (7·3=21) confondendo il quoziente con la potenza di potenza. $100^{4}$ moltiplica le basi (10·10=100) mantenendo la differenza degli esponenti.
Calcola ${(5^{2})}^{3}$ .
- A 15625
- B 3125
- C 5
- D 1000
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Risposta giusta: A. 15625
${(5^{2})}^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6} = 15625$ : nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano. $3125 = 5^{5}$ nasce sommando gli esponenti (2+3=5) come se fosse un prodotto di potenze. $5 = 5^{1}$ nasce sottraendo gli esponenti (3−2=1) come se fosse un quoziente di potenze. $1000 = 10^{3}$ nasce raddoppiando la base (5+5=10) invece di moltiplicare gli esponenti.
Semplifica ${(x^{2})}^{5}$ , con x ≠ 0.
- A $x^{7}$
- B $5 x^{2}$
- C $x^{10}$
- D $x^{3}$
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Risposta giusta: C. $x^{10}$
Nella potenza di potenza la base resta invariata e gli esponenti si moltiplicano: ${(x^{2})}^{5} = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$ . $x^{7}$ nasce sommando gli esponenti (2+5=7), come nel prodotto di potenze. $x^{3}$ nasce sottraendoli (5−2=3), come nel quoziente di potenze. $5 x^{2}$ confonde l'esponente esterno con un coefficiente da moltiplicare, invece di usarlo per elevare a potenza.
Un alunno scrive: $2^{3} \cdot 3^{2} = 6^{5}$ . È un procedimento corretto?
- A Sì, perché nel prodotto di potenze si sommano sempre gli esponenti e si moltiplicano le basi
- B No: le basi sono diverse (2 e 3), quindi la proprietà del prodotto di potenze non si applica; vanno calcolate separatamente: $2^{3} = 8$ e $3^{2} = 9$ , quindi il risultato è 72
- C Sì, ma l'esponente giusto è 3·2=6, quindi il risultato è $6^{6}$
- D No, il calcolo va scritto come $6^{5}$ , ma poi bisogna calcolarne il valore (7776)
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Risposta giusta: B. No: le basi sono diverse (2 e 3), quindi la proprietà del prodotto di potenze non si applica; vanno calcolate separatamente: $2^{3} = 8$ e $3^{2} = 9$ , quindi il risultato è 72
Le proprietà di prodotto, quoziente e potenza di potenza valgono solo tra potenze con la STESSA base: $2^{3}$ e $3^{2}$ hanno basi diverse, quindi non si possono unire in un'unica potenza. Vanno calcolate separatamente e poi moltiplicate: $2^{3} = 8$ , $3^{2} = 9$ , 8·9=72. Dire che si sommano sempre gli esponenti moltiplicando le basi ripete l'errore di applicare la proprietà anche quando le basi sono diverse. Scrivere $6^{6}$ (esponenti moltiplicati) o lasciare il risultato come $6^{5}$ da calcolare sono entrambi scorretti: nessuna proprietà permette di unire $2^{3}$ e $3^{2}$ in un'unica potenza di base 6.
Semplifica ( $x^{6} \cdot x^{2}$ ) : $x^{3}$ , con x ≠ 0.
- A $x^{11}$
- B $x^{36}$
- C $x^{1}$
- D $x^{5}$
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Risposta giusta: D. $x^{5}$
Prima si applica il prodotto di potenze tra $x^{6}$ e $x^{2}$ (stessa base): $x^{6} \cdot x^{2} = x^{6 + 2} = x^{8}$ ; poi il quoziente con $x^{3}$ : $x^{8} : x^{3} = x^{8 - 3} = x^{5}$ . $x^{11}$ nasce sommando anche l'esponente del divisore invece di sottrarlo (6+2+3=11). $x^{36}$ nasce moltiplicando tutti gli esponenti (6·2·3=36) come in una potenza di potenza. $x^{1}$ nasce sottraendo invece di sommare i primi due esponenti (6−2=4, poi 4−3=1).
Una coltura di batteri raddoppia ogni ora. Nelle prime 3 ore i batteri diventano $2^{3}$ volte quelli iniziali; nelle 5 ore successive si moltiplicano per altre $2^{5}$ volte. Quante volte sono aumentati in totale dopo le 8 ore, espresso come potenza di 2?
- A $2^{8}$
- B $2^{15}$
- C $4^{8}$
- D $2^{2}$
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Risposta giusta: A. $2^{8}$
L'aumento complessivo si ottiene moltiplicando i due fattori con la stessa base: $2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{3 + 5} = 2^{8}$ (256 volte). $2^{15}$ nasce moltiplicando gli esponenti (3·5=15) come nella potenza di potenza. $4^{8}$ nasce sommando le basi (2+2=4) mantenendo la somma degli esponenti. $2^{2}$ nasce sottraendo gli esponenti (5−3=2), confondendo il prodotto con il quoziente di potenze.
Se $7^{x} = 7^{3} \cdot 7^{6}$ , quale numero deve essere x?
- A 18
- B 9
- C 3
- D 6
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Risposta giusta: B. 9
Poiché le basi sono uguali (7), il prodotto $7^{3} \cdot 7^{6}$ si scrive come un'unica potenza sommando gli esponenti: $7^{3 + 6} = 7^{9}$ , quindi x=9. 18 nasce moltiplicando gli esponenti (3·6=18) invece di sommarli. 3 nasce sottraendo gli esponenti (6−3=3) come in un quoziente di potenze. 6 nasce tenendo solo l'esponente maggiore e ignorando l'altro fattore del prodotto.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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