Matematica · 3ª media · Lezione 3 di 9

Potenze di prodotti e quozienti

Impari a elevare a potenza un prodotto o un quoziente elevando ogni fattore singolarmente, e a leggere le proprietà «al contrario» per raggruppare basi comode e velocizzare i calcoli a mente.

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Teoria in pillole

Quando a essere elevato a potenza è un prodotto o un quoziente, l'esponente si applica a ciascun fattore. Qui le basi possono essere diverse: quello che deve essere uguale è l'esponente.

Potenza di un prodotto

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(2 \cdot 5)}^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3}$

$2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1 000$

Si può controllare per un'altra strada:

{(2 \cdot 5)}^{3} = 10^{3} = 1 000

Potenza di un quoziente

${(a : b)}^{n} = a^{n} : b^{n}$

${(12 : 4)}^{2} = 12^{2} : 4^{2}$

$12^{2} : 4^{2} = 144 : 16 = 9$

Il divisore deve essere diverso da zero. Anche qui il controllo è immediato:

{(12 : 4)}^{2} = 3^{2} = 9

La stessa regola letta al contrario

$4^{3} \cdot 25^{3} = {(4 \cdot 25)}^{3}$

${(4 \cdot 25)}^{3} = 100^{3}$

$100^{3} = 1 000 000$

Quando due potenze hanno lo stesso esponente conviene raggrupparle: il prodotto delle basi è spesso un numero comodo.

La condizione qui è lo stesso esponente, non la stessa base: è la differenza rispetto alle tre proprietà precedenti.
La regola vale anche con le frazioni, che sono quozienti: ${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}$ .
Con più di due fattori funziona allo stesso modo: ${(2 \cdot 3 \cdot 5)}^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ .

L'esponente si distribuisce sul prodotto, non sulla somma: ${(a + b)}^{2}$ non è $a^{2} + b^{2}$ . Il controllo si fa con due numeri qualsiasi: ${(3 + 4)}^{2}$ vale $7^{2} = 49$ , mentre $3^{2} + 4^{2}$ vale $9 + 16 = 25$ . Un solo esempio numerico basta a smentire una regola sbagliata, e conviene farlo ogni volta che una proprietà sembra troppo comoda.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

${(a \cdot b)}^{5}$ è uguale a:
- A $a^{5} \cdot b^{5}$
- B $a^{5} \cdot b$
- C ${(a + b)}^{5}$
- D $a \cdot b^{5}$
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Risposta giusta: A. $a^{5} \cdot b^{5}$
La potenza di un prodotto eleva OGNI fattore alla stessa potenza: ${(a \cdot b)}^{5} = a^{5} \cdot b^{5}$ . Chi scrive $a^{5} \cdot b$ ha elevato solo il primo fattore dimenticando il secondo; $a \cdot b^{5}$ è l'errore opposto; ${(a + b)}^{5}$ confonde il prodotto con una somma, che non c'entra con questa proprietà.
Calcola ${(2 \cdot 3)}^{2}$ applicando la proprietà della potenza di un prodotto.
- A $2^{2} \cdot 3 = 12$
- B $2 \cdot 3^{2} = 18$
- C $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
- D ${(2 + 3)}^{2} = 25$
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Risposta giusta: C. $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$
Si eleva ogni fattore al quadrato e poi si moltiplica: $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , che infatti coincide con $6^{2} = 36$ . $2^{2} \cdot 3 = 12$ e $2 \cdot 3^{2} = 18$ elevano un solo fattore lasciando l'altro invariato; ${(2 + 3)}^{2} = 25$ somma le basi (2+3) invece di moltiplicarle.
La potenza di un quoziente ${(x : y)}^{n}$ , con y ≠ 0, si scrive come:
- A $x^{n} - y^{n}$
- B $x^{n} : y^{n}$
- C x : $y^{n}$
- D $x^{n} : y$
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Risposta giusta: B. $x^{n} : y^{n}$
Si elevano sia il dividendo sia il divisore alla stessa potenza n, poi si esegue la divisione: $x^{n} : y^{n}$ . x : $y^{n}$ ha elevato solo il divisore, $x^{n} : y$ ha elevato solo il dividendo: in entrambi i casi manca un fattore da elevare. La sottrazione non ha alcun legame con questa regola.
Calcola ${(10 : 2)}^{3}$ applicando la potenza di un quoziente.
- A $10^{3} - 2^{3} = 992$
- B $10 : 2^{3} = 1,25$
- C $10^{3} : 2 = 500$
- D $10^{3} : 2^{3} = 125$
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Risposta giusta: D. $10^{3} : 2^{3} = 125$
Si elevano separatamente dividendo e divisore, poi si divide: $10^{3} : 2^{3} = 1000 : 8 = 125$ , che coincide con $5^{3} = 125$ (5 = 10:2). $10^{3} - 2^{3} = 992$ sottrae invece di dividere; $10 : 2^{3} = 1,25$ eleva solo il divisore; $10^{3} : 2 = 500$ eleva solo il dividendo.
Quale potenza di 10 corrisponde a $2^{5} \cdot 5^{5}$ ?
- A $10^{5}$
- B $7^{5}$
- C $10^{10}$
- D $2^{5} + 5^{5}$
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Risposta giusta: A. $10^{5}$
Usando la proprietà «al contrario», $2^{5} \cdot 5^{5} = {(2 \cdot 5)}^{5} = 10^{5} = 100000$ . Chi risponde $7^{5}$ ha sommato le basi (2+5) invece di moltiplicarle; $10^{10}$ nasce da moltiplicare gli esponenti, come nella potenza di potenza; $2^{5} + 5^{5}$ confonde il prodotto con una somma.
Quanto vale $4^{6} : 2^{6}$ senza calcolare separatamente le due potenze?
- A $2^{12} = 4096$
- B $2^{6} = 64$
- C $6^{6}$
- D 4 : 2 = 2
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Risposta giusta: B. $2^{6} = 64$
Si divide prima tra le basi (4:2=2) e poi si eleva al medesimo esponente: ${(4 : 2)}^{6} = 2^{6} = 64$ . $2^{12}$ nasce da moltiplicare gli esponenti come nella potenza di potenza; $6^{6}$ somma le basi invece di dividerle; 4:2=2 divide correttamente le basi ma dimentica di elevare il risultato alla sesta potenza.
Un alunno scrive: ${(x \cdot y)}^{3} = x^{3} \cdot y$ . Perché è sbagliato?
- A Non è sbagliato, è solo scritto in un altro ordine
- B È sbagliato perché bisognava sommare gli esponenti
- C È sbagliato perché il prodotto andava trasformato in una somma
- D È sbagliato perché bisogna elevare alla terza anche il fattore y, non lasciarlo invariato
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Risposta giusta: D. È sbagliato perché bisogna elevare alla terza anche il fattore y, non lasciarlo invariato
La potenza di un prodotto richiede di elevare CIASCUN fattore alla stessa potenza: ${(x \cdot y)}^{3} = x^{3} \cdot y^{3}$ . L'errore comune è elevarne solo uno e lasciare l'altro invariato. Non è questione di ordine, non si sommano esponenti (quella regola vale per potenze con la stessa base moltiplicate tra loro) e il prodotto non diventa mai una somma.
Semplifica ${(2 a)}^{3}$ .
- A $2 a^{3}$
- B $6 a^{3}$
- C $8 a^{3}$
- D $8 a$
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Risposta giusta: C. $8 a^{3}$
${(2 a)}^{3} = 2^{3} \cdot a^{3} = 8 \cdot a^{3} = 8 a^{3}$ : si eleva alla terza sia il coefficiente numerico sia la lettera. $2 a^{3}$ ha lasciato il coefficiente invariato; $6 a^{3}$ ha calcolato 2·3 invece di $2^{3}$ ; $8 a$ ha elevato correttamente il coefficiente ma dimenticato l'esponente sulla lettera.
Un cubo ha lo spigolo lungo 2 · 5 cm. Qual è il suo volume, applicando la potenza di un prodotto?
- A $2^{3} + 5^{3} = 133$ ${cm}^{3}$
- B $2^{3} \cdot 5^{3} = 1000$ ${cm}^{3}$
- C $2 \cdot 5^{3} = 250$ ${cm}^{3}$
- D ${(2 + 5)}^{3} = 343$ ${cm}^{3}$
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Risposta giusta: B. $2^{3} \cdot 5^{3} = 1000$ ${cm}^{3}$
Il volume del cubo è $l^{3} = {(2 \cdot 5)}^{3}$ ; applicando la potenza di un prodotto, ${(2 \cdot 5)}^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1000$ ${cm}^{3}$ , che coincide con $10^{3} = 1000$ . Sommare i cubi (133), elevare un solo fattore (250) o sommare prima le basi (343) alterano tutti il risultato.
Semplifica ${(6 a)}^{2} : {(2 a)}^{2}$ , con a ≠ 0.
- A $9 a^{2}$
- B $3 a$
- C $9 a^{4}$
- D 9
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Risposta giusta: D. 9
Conviene usare la proprietà «al contrario»: ${(6 a)}^{2} : {(2 a)}^{2} = {(6 a : 2 a)}^{2} = 3^{2} = 9$ . Calcolando per esteso si ottiene lo stesso risultato: $36 a^{2} : 4 a^{2} = 9$ , perché la parte letterale $a^{2}$ si semplifica. $9 a^{2}$ non semplifica la parte letterale; $3 a$ dimentica di elevare al quadrato; $9 a^{4}$ somma per errore gli esponenti invece di semplificarli per divisione.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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