Matematica · 3ª media · Lezione 4 di 9

Potenze con esponente zero o negativo

Cosa succede quando l'esponente è zero o negativo: $x^{0}$ vale sempre 1 (tranne il caso $0^{0}$ , che non ha significato) e $x^{- n}$ è il reciproco $\frac{1}{x^{n}}$ , mai un numero negativo. La regola d'oro: trasforma subito l'esponente negativo o nullo, prima di calcolare qualsiasi altra cosa.

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Teoria in pillole

Le proprietà delle potenze sono state scritte per esponenti che contano dei fattori, cioè per numeri interi positivi. Estenderle all'esponente zero e all'esponente negativo non è una libertà: è l'unica scelta che lascia vere le proprietà già dimostrate.

La scala che continua

Scendendo lungo le potenze di dieci, ogni passo divide per dieci. Se la scala prosegue, il passo sotto $10^{1}$ non può che essere $1$ .

La regola non arriva dall'esterno: è la sola che tiene la scala regolare anche sotto l'esponente uno.

La stessa cosa dalla proprietà del quoziente

$a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$

$a^{n} : a^{n} = 1$

Un numero diviso per se stesso dà

1

, e la proprietà del quoziente dà

a^{0}

: quindi

a^{0} = 1

, con

a

diverso da zero.

Esponente negativo

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

${(\frac{2}{3})}^{- 2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Si prende il reciproco della base e si usa l'esponente positivo. Con una frazione basta capovolgerla.

In entrambi i casi la base deve essere diversa da zero: $0^{0}$ non ha significato, e $0^{- 3}$ chiederebbe di dividere per zero.
Conviene trasformare subito esponenti nulli e negativi, prima di ogni altro calcolo: l'espressione si accorcia e i segni non si confondono.
Con l'esponente negativo tutte le proprietà continuano a valere: $10^{5} \cdot 10^{- 3} = 10^{2}$ .
Le potenze di dieci con esponente negativo sono i sottomultipli: $10^{- 2}$ è un centesimo, $10^{- 3}$ un millesimo.

L'esponente negativo non rende negativo il numero: $2^{- 3}$ vale $\frac{1}{8}$ , non $- 8$ . Il segno meno sta sull'esponente e riguarda la posizione della potenza nella scala, non il segno del risultato. E si prende il reciproco della base, non l'opposto: il reciproco di $2$ è $\frac{1}{2}$ , non $- 2$ .

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Potenze con esponente zero o negativo

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Domande

Quanto vale $9^{0}$ ?
- A 9
- B 0
- C 1
- D Non è definito
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Risposta giusta: C. 1
Qualsiasi numero diverso da zero elevato a 0 vale 1: $9^{0} = 1$ . Non è vero che l'esponente 0 lasci la base invariata ( $9^{0} \neq 9$ , quella corrispondenza vale solo per l'esponente 1) né che dia 0 come se il numero venisse azzerato. La scrittura 'non è definito' si applica solo al caso speciale $0^{0}$ , non a $9^{0}$ , perché qui la base è diversa da zero.
Quale tra queste potenze NON ha significato?
- A $0^{0}$
- B $5^{0}$
- C $1^{0}$
- D $0^{5}$
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Risposta giusta: A. $0^{0}$
$0^{0}$ è l'unico caso tra questi privo di significato, perché la regola $x^{0} = 1$ richiede x ≠ 0. Le altre tre sono invece perfettamente calcolabili: $5^{0} = 1$ e $1^{0} = 1$ (esponente zero su base diversa da zero), mentre $0^{5} = 0$ è un caso diverso e valido, cioè 0 moltiplicato per se stesso 5 volte, che fa 0 senza alcun problema.
Calcola $4^{- 2}$ .
- A −8
- B $\frac{1}{8}$
- C $- \frac{1}{16}$
- D $\frac{1}{16}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{16}$
$4^{- 2}$ si trasforma nel reciproco della base elevato all'esponente positivo: $4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$ . Il valore −8 nasce da chi moltiplica la base per l'esponente (4 · (−2)) invece di elevare a potenza; $\frac{1}{8}$ nasce da chi calcola $\frac{1}{(4 \cdot 2)}$ anziché $\frac{1}{4^{2}}$ ; $- \frac{1}{16}$ ha il valore corretto ma un segno che non deve esserci, perché l'esponente negativo trasforma la potenza nel suo reciproco, non nel suo opposto.
Quanto vale $2^{- 2}$ ?
- A −4
- B $\frac{1}{4}$
- C 4
- D $- \frac{1}{4}$
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{4}$
$2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$ , un numero positivo: l'esponente negativo indica il reciproco della base con esponente positivo, non un valore negativo. Scrivere −4 è l'errore più comune, cioè pensare che il segno meno dell'esponente passi al risultato; 4 nasce da chi ignora del tutto il segno meno; $- \frac{1}{4}$ combina i due errori precedenti.
Calcola ${(\frac{2}{3})}^{- 2}$ .
- A $\frac{4}{9}$
- B $- \frac{9}{4}$
- C $\frac{9}{4}$
- D $\frac{3}{2}$
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Risposta giusta: C. $\frac{9}{4}$
Per elevare una frazione a esponente negativo si scambia numeratore e denominatore e si eleva all'esponente positivo: ${(\frac{2}{3})}^{- 2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ . Il valore $\frac{4}{9}$ nasce da chi eleva $\frac{2}{3}$ al quadrato senza invertirla, ignorando il segno negativo; $- \frac{9}{4}$ inverte correttamente la frazione ma aggiunge un segno meno che non c'entra; $\frac{3}{2}$ si ferma a metà del procedimento, invertendo la frazione ma dimenticando di elevarla al quadrato.
Applicando la proprietà del quoziente di potenze, quanto vale $6^{4} : 6^{4}$ ?
- A 1
- B 0
- C 6
- D 36
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Risposta giusta: A. 1
Dividendo due potenze con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $6^{4} : 6^{4} = 6^{4 - 4} = 6^{0} = 1$ . Un numero (diverso da zero) diviso per se stesso dà 1, non 0: l'opzione 0 nasce da chi confonde la divisione con la sottrazione $(6^{4} - 6^{4} = 0)$ . L'opzione 6 calcola correttamente l'esponente 0 ma poi pensa che $x^{0} = x$ invece di $x^{0} = 1$ . L'opzione 36 non corrisponde a nessuna proprietà valida delle potenze.
Calcola $10^{0} \cdot 10^{- 2}$ .
- A 0
- B $\frac{1}{100}$
- C 100
- D $- \frac{1}{100}$
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Risposta giusta: B. $\frac{1}{100}$
$10^{0}$ vale 1 e $10^{- 2}$ vale $\frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100}$ : il prodotto è $1 \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$ . L'opzione 0 nasce da chi crede che $10^{0}$ valga 0 invece di 1. L'opzione 100 ignora il segno meno dell'esponente e calcola $10^{2}$ . L'opzione $- \frac{1}{100}$ applica un segno negativo al risultato che non deriva da nessun passaggio corretto.
In chimica, la concentrazione di una soluzione diluita è pari a $10^{- 3}$ rispetto a quella iniziale. A quale frazione corrisponde questo valore?
- A $\frac{1}{100}$
- B −1000
- C 1000
- D $\frac{1}{1000}$
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Risposta giusta: D. $\frac{1}{1000}$
$10^{- 3}$ è il reciproco di $10^{3}$ , quindi vale $\frac{1}{1000}$ : la concentrazione diventa un millesimo di quella iniziale. L'opzione $\frac{1}{100}$ conta male gli zeri, confondendo $10^{- 3}$ con $10^{- 2}$ . Le opzioni −1000 e 1000 dimenticano che un esponente negativo produce una frazione (un numero minore di 1), non un numero intero: −1000 aggiunge anche un segno negativo che non ha motivo di esserci.
In un'espressione compare il fattore $x^{0}$ , con x ≠ 0. Che effetto ha questo fattore sul risultato del prodotto?
- A Annulla tutto il prodotto (lo rende 0)
- B Raddoppia il valore del prodotto
- C Non cambia il valore del prodotto (equivale a moltiplicare per 1)
- D Rende il risultato negativo
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Risposta giusta: C. Non cambia il valore del prodotto (equivale a moltiplicare per 1)
Un fattore $x^{0}$ , con x ≠ 0, vale sempre 1, quindi moltiplicarlo non cambia il risultato: è come moltiplicare per 1. Pensare che annulli il prodotto confonde $x^{0}$ con lo zero usato come fattore. Pensare che lo raddoppi o lo renda negativo attribuisce a $x^{0}$ un valore diverso da 1, che non è mai il caso quando la base non è zero.
Applicando la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base, a quale potenza con esponente unico è uguale $8^{3} : 8^{5}$ ? Quanto vale?
- A $8^{- 2} = \frac{1}{64}$
- B $8^{- 2} = - \frac{1}{64}$
- C $8^{2} = 64$
- D $8^{- 2} = - 64$
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Risposta giusta: A. $8^{- 2} = \frac{1}{64}$
Con la stessa base si sottraggono gli esponenti: $8^{3} : 8^{5} = 8^{3 - 5} = 8^{- 2}$ , che si trasforma nel reciproco $\frac{1}{8^{2}} = \frac{1}{64}$ . L'opzione $- \frac{1}{64}$ ha il valore giusto ma un segno che l'esponente negativo non produce. L'opzione $8^{2} = 64$ nasce da chi sottrae gli esponenti nell'ordine sbagliato (5−3 invece di 3−5). L'opzione −64 combina entrambi gli errori: ordine sbagliato e segno negativo aggiunto senza motivo.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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