Confrontare gli ordini di grandezza

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Quale tra questi numeri è maggiore: $7·{10}^4$ oppure $2·{10}^6$?

   • A $7·{10}^4$
   • B Sono uguali
   • C Non si può stabilire senza scriverli per esteso
   • D $2·{10}^6$
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   Risposta giusta: D. $2·{10}^6$

   Per confrontare numeri in notazione scientifica si guarda prima l'esponente: ${10}^6$ è maggiore di ${10}^4$, quindi $2·{10}^6$ (cioè 2 000 000) è maggiore di $7·{10}^4$ (cioè 70 000), anche se il coefficiente 7 è più grande di 2. Il coefficiente conta solo quando gli esponenti sono uguali.

2. Tra $\mathrm{5,2}·{10}^{-3}$ e $\mathrm{5,8}·{10}^{-3}$, quale numero è maggiore?

   • A $\mathrm{5,2}·{10}^{-3}$
   • B $\mathrm{5,8}·{10}^{-3}$
   • C Sono uguali
   • D Dipende dal segno dell'esponente
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   Risposta giusta: B. $\mathrm{5,8}·{10}^{-3}$

   Qui gli esponenti sono uguali (entrambi −3), quindi il confronto si sposta sui coefficienti: 5,8 è maggiore di 5,2, perciò $\mathrm{5,8}·{10}^{-3}$ è il numero maggiore. Il segno dell'esponente stabilisce solo se il numero è grande o piccolo, non cambia il criterio di confronto tra coefficienti a parità di esponente.

3. Una coltura di batteri conta $6·{10}^8$ individui, un'altra ne conta $3·{10}^5$. Quante volte è più numerosa la prima coltura rispetto alla seconda?

   • A $2·{10}^3$ (2000 volte)
   • B $2·{10}^{13}$
   • C $6·{10}^3$
   • D $2·{10}^{-3}$
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   Risposta giusta: A. $2·{10}^3$ (2000 volte)

   Per sapere quante volte una grandezza è maggiore di un'altra si dividono i due numeri: $\left(6·{10}^8\right):\left(3·{10}^5\right)$. Si dividono separatamente i coefficienti (6 : 3 = 2) e si sottraggono gli esponenti (8 − 5 = 3), ottenendo $2·{10}^3$, cioè 2000 volte. Sommare gli esponenti (8+5=13) o dimenticare di dividere i coefficienti, lasciando il 6 invariato, sono gli errori più comuni in questo tipo di calcolo.

4. Calcola $\left(4·{10}^5\right)·\left(3·{10}^6\right)$ e scrivi il risultato in notazione scientifica corretta.

   • A $12·{10}^{11}$
   • B $12·{10}^{30}$
   • C $\mathrm{1,2}·{10}^{12}$
   • D $\mathrm{1,2}·{10}^{11}$
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   Risposta giusta: C. $\mathrm{1,2}·{10}^{12}$

   Nel prodotto tra numeri in notazione scientifica si moltiplicano i coefficienti (4 · 3 = 12) e si sommano gli esponenti delle potenze di dieci $\left({10}^5·{10}^6={10}^{11}\right)$, ottenendo $12·{10}^{11}$. Poiché 12 non rispetta la condizione 1 ≤ a < 10, va aggiustato spostando la virgola: $12·{10}^{11}=\mathrm{1,2}·{10}^{12}$. Moltiplicare gli esponenti invece di sommarli (come nella potenza di potenza) è l'errore tipico da evitare qui.

5. Calcola $\left(\mathrm{2,4}·{10}^7\right):\left(8·{10}^3\right)$ e scrivi il risultato in notazione scientifica corretta.

   • A $\mathrm{0,3}·{10}^4$
   • B $3·{10}^4$
   • C $\mathrm{0,3}·{10}^{10}$
   • D $3·{10}^3$
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   Risposta giusta: D. $3·{10}^3$

   Nella divisione si dividono i coefficienti (2,4 : 8 = 0,3) e si sottraggono gli esponenti $\left({10}^7:{10}^3={10}^4\right)$, ottenendo $\mathrm{0,3}·{10}^4$. Ma 0,3 non rispetta 1 ≤ a < 10: si sposta la virgola di una posizione a destra nel coefficiente e si abbassa di uno l'esponente, ottenendo $3·{10}^3$. Il valore numerico è lo stesso (3000), ma solo questa è la forma corretta della notazione scientifica.

6. Per confrontare $9·{10}^3$ e $1·{10}^5$, un alunno guarda solo i coefficienti (9 e 1) e conclude che $9·{10}^3$ è il numero maggiore. Dov'è l'errore?

   • A Deve confrontare prima gli esponenti: ${10}^5$ è maggiore di ${10}^3$, quindi $1·{10}^5$ è il numero maggiore, anche se il coefficiente 1 è più piccolo di 9
   • B Nessun errore, ha ragione
   • C Deve sommare coefficiente ed esponente di ciascun numero e confrontare i totali
   • D I due numeri sono in realtà uguali
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   Risposta giusta: A. Deve confrontare prima gli esponenti: ${10}^5$ è maggiore di ${10}^3$, quindi $1·{10}^5$ è il numero maggiore, anche se il coefficiente 1 è più piccolo di 9

   Il confronto tra numeri in notazione scientifica parte sempre dagli esponenti: ${10}^5$ è maggiore di ${10}^3$, quindi $1·{10}^5$ (cioè 100 000) è maggiore di $9·{10}^3$ (cioè 9000), anche se 9 sembra 'più vicino a 10' del coefficiente 1. Fermarsi al coefficiente senza guardare l'esponente è l'errore più comune nel confronto tra ordini di grandezza.

7. Una sonda spaziale dista dalla Terra $\mathrm{2,4}·{10}^{10}$ km. Le onde radio viaggiano a $3·{10}^5$ km/s. Quanto tempo impiega un segnale radio a raggiungere la sonda? (Scrivi il risultato in notazione scientifica corretta, con 1 ≤ a < 10)

   • A $\mathrm{0,8}·{10}^5$ s
   • B $8·{10}^4$ s
   • C $8·{10}^{15}$ s
   • D $\mathrm{0,8}·{10}^{-5}$ s
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   Risposta giusta: B. $8·{10}^4$ s

   Il tempo si ottiene dividendo la distanza per la velocità: $\left(\mathrm{2,4}·{10}^{10}\right):\left(3·{10}^5\right)$. Si dividono i coefficienti (2,4 : 3 = 0,8) e si sottraggono gli esponenti (10 − 5 = 5), ottenendo $\mathrm{0,8}·{10}^5$. Poiché 0,8 è minore di 1, si sposta la virgola e si abbassa l'esponente: $8·{10}^4$ s, cioè 80 000 secondi (circa 22 ore, il tempo reale con cui i segnali radio raggiungono le sonde più lontane).

8. Un globulo rosso ha una massa di circa $3·{10}^{-11}$ g. Quanti globuli rossi servono per raggiungere una massa complessiva di $6·{10}^{-5}$ g?

   • A $2·{10}^{-16}$
   • B $2·{10}^{16}$
   • C $\mathrm{0,5}·{10}^6$
   • D $2·{10}^6$
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   Risposta giusta: D. $2·{10}^6$

   Si dividono i coefficienti (6 : 3 = 2) e si sottraggono gli esponenti (−5 − (−11) = −5 + 11 = 6), ottenendo $2·{10}^6$ globuli rossi. L'errore più frequente è sbagliare il segno in questa sottrazione tra esponenti negativi, oppure sommare direttamente −5 e −11 invece di sottrarli.

9. Il pianeta A ha una massa di $4·{10}^{25}$ kg, il pianeta B ha una massa di $2·{10}^{22}$ kg. Quante volte è più massiccio il pianeta A rispetto al pianeta B?

   • A $2·{10}^{47}$
   • B $2·{10}^{-3}$
   • C $2·{10}^3$ (2000 volte)
   • D $8·{10}^3$
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   Risposta giusta: C. $2·{10}^3$ (2000 volte)

   Per sapere quante volte il pianeta A è più massiccio del pianeta B si divide $\left(4·{10}^{25}\right):\left(2·{10}^{22}\right)$: si dividono i coefficienti (4 : 2 = 2) e si sottraggono gli esponenti (25 − 22 = 3), ottenendo $2·{10}^3$, cioè 2000 volte. Sommare gli esponenti invece di sottrarli, o moltiplicare i coefficienti (4 · 2 = 8) invece di dividerli, sono gli errori tipici di questo calcolo.

10. Per calcolare $\left(9·{10}^8\right):\left(3·{10}^2\right)$, un alunno somma gli esponenti invece di sottrarli e scrive come risultato $3·{10}^{10}$. Qual è il risultato corretto?

    • A $3·{10}^6$
    • B $3·{10}^{10}$
    • C $9·{10}^6$
    • D $27·{10}^6$
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    Risposta giusta: A. $3·{10}^6$

    La divisione tra potenze con la stessa base richiede di sottrarre gli esponenti, non di sommarli: 8 − 2 = 6, non 8 + 2 = 10. Dividendo anche i coefficienti (9 : 3 = 3) si ottiene il risultato corretto: $3·{10}^6$. Sommare gli esponenti in una divisione, come nell'errore descritto, è uno degli sbagli più frequenti in questo tipo di calcolo.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.