Matematica · 3ª media · Lezione 8 di 9

Sistemi di numerazione

Laboratorio su «Sistemi di numerazione» nel percorso «Potenze e ordini di grandezza», per la 3ª media.

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Teoria in pillole

In un sistema di numerazione posizionale il valore di una cifra dipende da due cose: la cifra stessa e la posizione che occupa. Ogni posizione vale una potenza della base, e si contano da destra a partire dall'esponente zero. Nel sistema che usiamo tutti i giorni la base è $10$ ; nel sistema usato dai calcolatori è $2$ , e le cifre disponibili sono soltanto $0$ e $1$ .

Dal binario al decimale

$1 \cdot 2^{3} = 8$

$0 \cdot 2^{2} = 0$

$1 \cdot 2^{1} = 2$

$1 \cdot 2^{0} = 1$

$8 + 0 + 2 + 1 = 11$

Ogni posizione porta la sua potenza di due; si sommano soltanto quelle in cui la cifra è

1

Anche il decimale è posizionale

$3 \cdot 10^{2} = 300$

$0 \cdot 10^{1} = 0$

$5 \cdot 10^{0} = 5$

$300 + 0 + 5 = 305$

La regola non riguarda solo il binario: anche il sistema di tutti i giorni scrive i numeri come somma di potenze, con base

10

invece di

2

Dal decimale al binario

Si divide ripetutamente per $2$ e si leggono i resti dal basso verso l'alto.

$11 : 2 = 5$ con resto $1$

$5 : 2 = 2$ con resto $1$

$2 : 2 = 1$ con resto $0$

$1 : 2 = 0$ con resto $1$

I resti letti dall'ultimo al primo danno

1011

, che è la scrittura binaria di

11

Il numero delle cifre disponibili è sempre uguale alla base, e nessuna cifra può raggiungerla: in base due non esiste il $2$ .
Lo zero è indispensabile: tiene il posto di una potenza che non viene usata, e senza di lui $101$ e $11$ sarebbero indistinguibili.

Una scrittura non ha significato finché non si sa in quale base è espressa: $1011$ in base due vale $11$ , non «milleundici». Le cifre sembrano le stesse, ma le posizioni valgono potenze diverse, quindi il numero è un altro.

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Domande

Che cosa indica la posizione di una cifra in un sistema di numerazione posizionale?
- A La potenza della base per cui la cifra deve essere moltiplicata
- B Il numero di cifre presenti nella scrittura
- C Il segno del numero
- D Il valore della cifra, che resta uguale in ogni posizione
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Risposta giusta: A. La potenza della base per cui la cifra deve essere moltiplicata
In un sistema posizionale ogni posto corrisponde a una potenza della base: da destra si parte dall'esponente zero. La posizione non determina il segno né il numero totale di cifre, e una stessa cifra cambia valore quando cambia posto.
Quale numero decimale corrisponde a ${(1101)}_{2}$ ?
- A 1101
- B 12
- C 14
- D 13
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Risposta giusta: D. 13
${(1101)}_{2}$ si scompone come $8 + 4 + 0 + 1$ e vale 13. Leggere 1101 come millecentouno ignora la base; 12 dimentica l'ultima unità; 14 attribuisce valore 2 alla cifra finale.
Qual è la scrittura binaria del numero decimale 10?
- A ${(1110)}_{2}$
- B ${(1010)}_{2}$
- C ${(1001)}_{2}$
- D ${(1100)}_{2}$
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Risposta giusta: B. ${(1010)}_{2}$
10 si scompone come $8 + 2 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$ , quindi si scrive ${(1010)}_{2}$ . Le altre opzioni valgono rispettivamente 14, 9 e 12.
Nella scrittura ${(10110)}_{2}$ , quanto vale la cifra 1 più a sinistra?
- A 1
- B 10
- C 16
- D 32
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Risposta giusta: C. 16
La cifra più a destra occupa la posizione $2^{0}$ ; contando verso sinistra, la prima cifra di ${(10110)}_{2}$ occupa la posizione $2^{4}$ e vale $1 \cdot 2^{4} = 16$ . Il valore 1 ignora la posizione, 10 legge la coppia iniziale come decimale e 32 usa per errore $2^{5}$ .
Quali cifre si possono usare in una scrittura in base due?
- A Soltanto 0 e 1
- B Le cifre da 0 a 2
- C Tutte le cifre da 0 a 9
- D Soltanto 1 e 2
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Risposta giusta: A. Soltanto 0 e 1
In base due servono due sole cifre: 0 e 1. La cifra 2 non è ammessa, così come in base dieci non esiste una singola cifra che valga dieci; quando si raggiunge la base si passa alla posizione successiva.
Uno studente afferma: « ${(1011)}_{2}$ vale 1011 perché le cifre sono le stesse». Qual è la correzione corretta?
- A Vale 10, perché in base due si eliminano gli zeri
- B Vale 12, perché le quattro cifre si moltiplicano per 3
- C Vale 1011: la base non cambia il valore del numero
- D Vale 11, perché $1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 11$
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Risposta giusta: D. Vale 11, perché $1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 11$
Le cifre da sole non bastano: il loro valore dipende dalle potenze della base. In base due ${(1011)}_{2}$ vale $8 + 0 + 2 + 1 = 11$ . Eliminare gli zeri, moltiplicare il numero di cifre o ignorare la base non sono procedimenti posizionali validi.
Quale scomposizione esprime correttamente il numero decimale 42 nel sistema in base dieci?
- A $4 \cdot 10^{0} + 2 \cdot 10^{1}$
- B $4 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0}$
- C $42 \cdot 10^{1}$
- D $4 \cdot 2^{1} + 2 \cdot 2^{0}$
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Risposta giusta: B. $4 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0}$
Nel numero 42, il 4 occupa il posto delle decine e vale $4 \cdot 10^{1}$ , mentre il 2 occupa il posto delle unità e vale $2 \cdot 10^{0}$ . La prima opzione scambia le posizioni; la terza vale 420; la quarta usa potenze di 2 e non descrive la scrittura decimale 42.
Quanto vale ${(10000)}_{2}$ nel sistema decimale?
- A 10
- B 8
- C 16
- D 10000
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Risposta giusta: C. 16
L'unico 1 occupa la quinta posizione da destra, che corrisponde a $2^{4}$ : ${(10000)}_{2} = 16$ . Il valore 8 usa $2^{3}$ , 10 confonde la scrittura con un numero decimale costruito dalle prime cifre e 10000 ignora la base.
Qual è la scrittura binaria del numero decimale 19?
- A ${(10011)}_{2}$
- B ${(10101)}_{2}$
- C ${(11001)}_{2}$
- D ${(11110)}_{2}$
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Risposta giusta: A. ${(10011)}_{2}$
$19 = 16 + 2 + 1$ . Le potenze presenti sono $2^{4}$ , $2^{1}$ e $2^{0}$ , quindi la scrittura è ${(10011)}_{2}$ . Le altre opzioni valgono 21, 25 e 30: verificare la somma delle potenze evita di affidarsi alla somiglianza delle cifre.
Quale confronto è corretto tra ${(111)}_{2}$ e ${(1000)}_{2}$ ?
- A ${(111)}_{2} > {(1000)}_{2}$ , perché contiene più cifre 1
- B Sono uguali perché contengono tre cifre 1 complessive
- C Non si possono confrontare due numeri binari
- D ${(111)}_{2} < {(1000)}_{2}$ , perché valgono rispettivamente 7 e 8
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Risposta giusta: D. ${(111)}_{2} < {(1000)}_{2}$ , perché valgono rispettivamente 7 e 8
${(111)}_{2} = 4 + 2 + 1 = 7$ , mentre ${(1000)}_{2} = 8$ . Quindi il primo è minore del secondo. Il confronto visivo delle sequenze come se fossero numeri decimali porta fuori strada; due numeri binari si possono sempre confrontare attraverso il loro valore.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra delle Potenze: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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