Dal numero decimale alla frazione generatrice

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• Dal periodico alla frazione: Costruisci numeratore e denominatore un passo alla volta, riduci la frazione e gioca a squadre. Equazioni come approfondimento facoltativo.

1. Nella frazione generatrice di un numero decimale periodico misto, come si costruisce il denominatore?

   • A Tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo
   • B Tanti 9 quante sono tutte le cifre decimali, periodiche e non
   • C Un 9 per ogni cifra del numero, senza contare periodo e antiperiodo separatamente
   • D Tanti 0 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 9 quante sono le cifre dell'antiperiodo
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   Risposta giusta: A. Tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo

   La regola è: un 9 per ogni cifra del periodo, seguito da uno 0 per ogni cifra dell'antiperiodo (mai il contrario). Dire 'tanti 9 quante sono tutte le cifre decimali, periodiche e non' confonde il periodo con l'insieme di periodo e antiperiodo, contando erroneamente anche l'antiperiodo tra i 9. Dire 'un 9 per ogni cifra del numero, senza contare periodo e antiperiodo separatamente' ignora che le due parti vanno contate a parte e producono simboli diversi. Scambiare 9 e 0 (0 per il periodo, 9 per l'antiperiodo) inverte esattamente la regola corretta.

2. Prima di semplificare, quale frazione rappresenta correttamente 0,006 (decimale limitato)?

   • A $\frac{6}{1000}$
   • B $\frac{6}{10000}$
   • C $\frac{60}{1000}$
   • D $\frac{6}{100}$
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   Risposta giusta: A. $\frac{6}{1000}$

   0,006 ha tre cifre dopo la virgola, quindi il denominatore (prima di semplificare) è una potenza di 10 con tre zeri, cioè 1000, e il numeratore è il numero scritto senza virgola, cioè 6. '$\frac{6}{100}$' userebbe solo due zeri, uno in meno delle cifre decimali presenti; '$\frac{6}{10000}$' ne userebbe uno in più; '$\frac{60}{1000}$' corrisponde in realtà a 0,060, un numero diverso da 0,006.

3. Trasforma 0,036 in frazione, ridotta ai minimi termini.

   • A $\frac{36}{1000}$
   • B $\frac{18}{500}$
   • C $\frac{36}{100}$
   • D $\frac{9}{250}$
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   Risposta giusta: D. $\frac{9}{250}$

   $\mathrm{0,036}=\frac{36}{1000}$; dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD (4) si ottiene $\frac{9}{250}$, che non si può più semplificare. '$\frac{36}{1000}$' è la frazione corretta ma non ancora ridotta ai minimi termini; '$\frac{18}{500}$' è stata semplificata solo a metà (divisa per 2 invece che per 4); '$\frac{36}{100}$' ha il denominatore sbagliato, come se il numero avesse solo due cifre decimali invece di tre.

4. Trasforma in frazione il numero periodico semplice 0,181818…, cioè $\mathrm{0,}18$, riducendo ai minimi termini.

   • A $\frac{18}{90}$
   • B $\frac{9}{50}$
   • C $\frac{2}{11}$
   • D $\frac{18}{99}$
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   Risposta giusta: C. $\frac{2}{11}$

   Il numeratore è 18 (il periodo, senza parte non periodica da sottrarre) e il denominatore è 99 (due 9, quante sono le cifre del periodo); semplificando per 9 si ottiene $\frac{2}{11}$. '$\frac{18}{99}$' è corretta ma non ridotta ai minimi termini; '$\frac{18}{90}$' sbaglia il denominatore aggiungendo uno 0 di troppo, come se esistesse un antiperiodo che invece non c'è; '$\frac{9}{50}$' è una semplificazione scorretta che non corrisponde al valore di partenza.

5. Trasforma in frazione il numero periodico semplice 3,555…, cioè $\mathrm{3,}5$.

   • A $\frac{32}{90}$
   • B $\frac{5}{9}$
   • C $\frac{32}{9}$
   • D $\frac{35}{9}$
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   Risposta giusta: C. $\frac{32}{9}$

   Il numero scritto senza virgola con un giro di periodo è 35; va sottratta la parte non periodica, cioè la parte intera 3: 35 − 3 = 32. Il denominatore è 9 (una cifra di periodo, nessun antiperiodo). '$\frac{35}{9}$' dimentica di sottrarre la parte intera dal numeratore; '$\frac{5}{9}$' considera solo la parte decimale 0,555… trascurando la parte intera 3; '$\frac{32}{90}$' aggiunge uno 0 di troppo al denominatore, come se ci fosse un antiperiodo.

6. Trasforma in frazione il numero periodico misto 0,23333…, cioè $\mathrm{0,2}3$, riducendo ai minimi termini.

   • A $\frac{21}{90}$
   • B $\frac{7}{33}$
   • C $\frac{23}{90}$
   • D $\frac{7}{30}$
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   Risposta giusta: D. $\frac{7}{30}$

   Il numero senza virgola con un giro di periodo è 23; si sottrae l'antiperiodo (2): 23 − 2 = 21. Il denominatore è 90 (un 9 per il periodo, uno 0 per l'antiperiodo). Semplificando per 3 si ottiene $\frac{7}{30}$. '$\frac{21}{90}$' è corretta ma non ridotta ai minimi termini; '$\frac{23}{90}$' dimentica di sottrarre l'antiperiodo dal numeratore; '$\frac{7}{33}$' nasce dall'usare il denominatore 99 tipico dei periodici semplici (21/99 semplificato), dimenticando che qui c'è un antiperiodo che richiede uno 0 in più.

7. Trasforma in frazione il numero periodico misto 4,16666…, cioè $\mathrm{4,1}6$, riducendo ai minimi termini.

   • A $\frac{125}{30}$
   • B $\frac{375}{90}$
   • C $\frac{415}{90}$
   • D $\frac{25}{6}$
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   Risposta giusta: D. $\frac{25}{6}$

   Il numero senza virgola con un giro di periodo è 416; si sottrae la parte non periodica (parte intera 4 e antiperiodo 1, cioè 41): 416 − 41 = 375. Il denominatore è 90 (un 9 per il periodo, uno 0 per l'antiperiodo). Semplificando per 15 (MCD di 375 e 90) si ottiene $\frac{25}{6}$. '$\frac{375}{90}$' è corretta ma non ridotta ai minimi termini; '$\frac{125}{30}$' è una semplificazione parziale (divisa solo per 3 invece che per 15); '$\frac{415}{90}$' dimentica di sottrarre insieme parte intera e antiperiodo, calcolando 416 − 1 invece di 416 − 41.

8. Nel metodo con le equazioni (x = numero periodico, poi si calcolano $10x$, $100x$, $1000x$…), perché per un periodico misto servono DUE moltiplicazioni per potenze di 10 diverse, mentre per un periodico semplice ne basta una?

   • A Perché prima bisogna spostare la virgola oltre l'antiperiodo (per isolarlo) e poi ancora oltre il periodo (per allineare due copie del periodo); sottraendo le due equazioni il periodo scompare e resta un numero intero. Nel periodico semplice non c'è antiperiodo da spostare, quindi basta un solo spostamento
   • B Perché il periodico misto ha sempre più cifre decimali del periodico semplice, quindi serve una potenza di 10 più grande
   • C Perché nei periodici misti bisogna sempre moltiplicare per 100 e nei periodici semplici sempre per 10, indipendentemente da quante cifre ha il periodo
   • D Perché altrimenti il numero periodico misto non potrebbe essere scritto come frazione
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   Risposta giusta: A. Perché prima bisogna spostare la virgola oltre l'antiperiodo (per isolarlo) e poi ancora oltre il periodo (per allineare due copie del periodo); sottraendo le due equazioni il periodo scompare e resta un numero intero. Nel periodico semplice non c'è antiperiodo da spostare, quindi basta un solo spostamento

   Il primo spostamento (per l'antiperiodo) porta la virgola subito prima del periodo; il secondo (di altre tante posizioni quante il periodo) crea una seconda equazione con lo stesso periodo dopo la virgola, così che sottraendo si elimina la parte periodica infinita. Dire che il periodico misto 'ha sempre più cifre decimali' confonde 'più cifre' con il vero motivo strutturale, che è la presenza dell'antiperiodo, non la lunghezza. Dire che si moltiplica sempre per 100 nei periodici misti e sempre per 10 nei periodici semplici, indipendentemente da quante cifre ha il periodo, è un errore tipico: le potenze di 10 usate dipendono dal numero di cifre di periodo e antiperiodo, non sono fisse a 10 e 100. Ed è falso che il periodico misto non potrebbe essere scritto come frazione: ogni numero periodico si può scrivere come frazione.

9. Per trovare la frazione generatrice di 0,7444…, cioè $\mathrm{0,7}4$, uno studente scrive $\frac{70}{90}$ (calcolando 74 − 4). Qual è l'errore?

   • A 0,7444… non è un decimale periodico misto, quindi questa regola non si può applicare
   • B Non c'è nessun errore: $\frac{70}{90}$ semplificato dà $\frac{7}{9}$, che è equivalente a $\frac{67}{90}$
   • C Il denominatore è sbagliato: doveva essere 99, non 90
   • D Ha sottratto il periodo (4) invece dell'antiperiodo (7): il numeratore corretto è 74 − 7 = 67, quindi la frazione giusta è $\frac{67}{90}$
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   Risposta giusta: D. Ha sottratto il periodo (4) invece dell'antiperiodo (7): il numeratore corretto è 74 − 7 = 67, quindi la frazione giusta è $\frac{67}{90}$

   Al numeratore va sottratta la parte NON periodica (qui l'antiperiodo '7'), non il periodo: 74 − 7 = 67, quindi la frazione corretta è $\frac{67}{90}$ (già ridotta ai minimi termini, dato che 67 è primo). Il denominatore 90 è corretto (un 9 per il periodo '4', uno 0 per l'antiperiodo '7'): dire che doveva essere 99 è falso. Il tranello più insidioso è pensare che non ci sia errore perché '$\frac{70}{90}$ semplificato dà $\frac{7}{9}$, equivalente a $\frac{67}{90}$': in realtà $\frac{7}{9}=\mathrm{0,7777}$…, un valore diverso da 0,7444…, quindi NON è equivalente a $\frac{67}{90}$. Ed è falso anche dire che 0,7444… non sia un periodico misto: ha esattamente la struttura antiperiodo (7) + periodo (4).

10. Perché è sbagliato trasformare il numero periodico 0,63333… in frazione scrivendo semplicemente $\frac{633}{1000}$, come se fosse un decimale limitato con tre cifre?

    • A È sbagliato solo perché $\frac{633}{1000}$ non è ridotta ai minimi termini, ma numeratore e denominatore di partenza sono corretti
    • B Perché 0,63333… non è un decimale limitato: le cifre non finiscono (il 3 si ripete all'infinito), quindi va usata la regola del periodico misto: $\frac{\left(63-6\right)}{90}=\frac{57}{90}=\frac{19}{30}$, non $\frac{633}{1000}$
    • C È sbagliato perché il denominatore doveva essere 9999 invece di 1000
    • D Non è sbagliato: $\frac{633}{1000}$ ridotto ai minimi termini è comunque il risultato esatto
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    Risposta giusta: B. Perché 0,63333… non è un decimale limitato: le cifre non finiscono (il 3 si ripete all'infinito), quindi va usata la regola del periodico misto: $\frac{\left(63-6\right)}{90}=\frac{57}{90}=\frac{19}{30}$, non $\frac{633}{1000}$

    $\frac{633}{1000}$ tronca il numero dopo tre cifre decimali, come se il 3 non si ripetesse più: è solo un'approssimazione (0,633), non il valore esatto. Il numero è periodico misto (antiperiodo '6', periodo '3'): numeratore 63 − 6 = 57, denominatore 90 (un 9 e uno 0), che semplificato dà $\frac{19}{30}=\mathrm{0,63333}$… esatto. Dire che $\frac{633}{1000}$ ha numeratore e denominatore di partenza corretti e sbaglia solo la riduzione è falso: $\frac{633}{1000}=\mathrm{0,633}$ esatto, un valore diverso da 0,63333… periodico. Ripete lo stesso errore chi pensa che basti semplificare $\frac{633}{1000}$ (che tra l'altro è già ridotta ai minimi termini, quindi non cambierebbe nulla). Infine, inventare un denominatore 9999 non segue nessuna delle regole viste.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.