Matematica · 3ª media · Lezione 10 di 11

Dalla frazione al numero decimale

Impara a prevedere se una frazione genera un decimale limitato, periodico semplice o periodico misto, analizzando i fattori primi del denominatore ridotto ai minimi termini.

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Teoria in pillole

Ogni frazione diventa un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. Il tipo di decimale che si otterrà si può prevedere senza fare la divisione, guardando i fattori primi del denominatore: a condizione di aver prima ridotto la frazione ai minimi termini.

Solo fattori 2 e 5: decimale limitato

$\frac{3}{20} = 0,15$

Il denominatore si può trasformare in una potenza di dieci, quindi la divisione a un certo punto finisce.

Né 2 né 5: periodico semplice

$\frac{5}{9} = 0, 5$

La divisione non finisce mai e il gruppo che si ripete comincia subito dopo la virgola.

2 o 5 insieme ad altri fattori: periodico misto

$\frac{7}{30} = 0,2 3$

Prima compaiono le cifre dell'antiperiodo, poi il gruppo che si ripete.

Il periodo è il gruppo di cifre che si ripete e si segna con una barra sopra; l'antiperiodo è ciò che sta fra la virgola e il periodo.
Il criterio vale sulla frazione ridotta: $\frac{15}{60}$ sembra avere un $3$ al denominatore, ma ridotta è $\frac{1}{4}$ e dà il decimale limitato $0,25$ .
Un decimale periodico è un numero esatto: le sue cifre proseguono all'infinito, ma il valore è quello della frazione da cui viene.

Il criterio si applica al denominatore ridotto, non a quello scritto. Su $\frac{15}{60}$ , senza ridurre, si vedrebbe $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ e si prevederebbe un periodico misto; ma $\frac{15}{60}$ è $\frac{1}{4}$ , e $\frac{1}{4}$ vale $0,25$ , che è limitato. La riduzione ai minimi termini non è un abbellimento del risultato: è il passaggio che rende vero il criterio.

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Domande

Quale tipo di numero decimale genera la frazione $\frac{7}{8}$ ?
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
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Risposta giusta: A. Decimale limitato
$8 = 2^{3}$ : nel denominatore compare solo il fattore 2, quindi la frazione dà sempre un decimale limitato (infatti $\frac{7}{8} = 0,875$ ). 'Periodico semplice' sarebbe corretto solo se il denominatore non avesse né 2 né 5; 'periodico misto' richiederebbe la presenza di un altro fattore primo insieme al 2.
Se il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini contiene SOLO i fattori 2 e/o 5, che numero decimale si ottiene?
- A Un decimale limitato
- B Un decimale periodico semplice
- C Un decimale periodico misto
- D Sempre un numero intero
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Risposta giusta: A. Un decimale limitato
È la regola base: 2 e 5 sono gli unici fattori primi di 10, quindi la frazione si può sempre trasformare in decimi, centesimi, millesimi... e la divisione si ferma. 'Periodico semplice' e 'periodico misto' richiedono invece fattori diversi da 2 e 5 nel denominatore; 'sempre un numero intero' confonde il caso limitato con il caso, più raro, in cui il numeratore è multiplo del denominatore.
Nel numero 0,58333..., cos'è l'antiperiodo?
- A Le cifre decimali che si ripetono all'infinito
- B Le cifre decimali comprese tra la virgola e l'inizio del periodo
- C La parte intera del numero
- D Il numero di zeri nel denominatore
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Risposta giusta: B. Le cifre decimali comprese tra la virgola e l'inizio del periodo
L'antiperiodo è il blocco di cifre decimali che NON si ripete, subito dopo la virgola e prima che inizi il periodo: in 0,58333... l'antiperiodo è '58' e il periodo è '3'. Dire che l'antiperiodo sono 'le cifre che si ripetono all'infinito' descrive invece il periodo, non l'antiperiodo; nei periodici semplici l'antiperiodo non c'è, perché il periodo comincia subito dopo la virgola.
Classifica (senza eseguire la divisione) la frazione $\frac{4}{21}$ .
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
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Risposta giusta: B. Decimale periodico semplice
21 = 3 · 7: la frazione è già ridotta ai minimi termini e nel denominatore non compaiono né 2 né 5, quindi il quoziente è un decimale periodico semplice (il periodo comincia subito dopo la virgola, anche se è lungo). 'Limitato' servirebbe solo con soli 2 e/o 5 nel denominatore; 'misto' richiederebbe la presenza di 2 o 5 accanto ad altri fattori.
Classifica la frazione $\frac{5}{12}$ .
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
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Risposta giusta: C. Decimale periodico misto
$12 = 2^{2} \cdot 3$ : nel denominatore c'è il fattore 2, ma anche il 3, che non è né 2 né 5. Quando 2 e/o 5 compaiono insieme ad altri fattori, il risultato è un decimale periodico misto (5/12 = 0,41666... = 0,416 periodico, con antiperiodo '41' e periodo '6'). Non è limitato perché resta un fattore 'estraneo' (il 3); non è periodico semplice perché il 2 fa comunque comparire un antiperiodo.
Classifica la frazione $\frac{9}{16}$ .
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
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Risposta giusta: A. Decimale limitato
$16 = 2^{4}$ : nel denominatore compare solo il fattore 2, quindi il quoziente è un decimale limitato $(\frac{9}{16} = 0,5625)$ . Attenzione: l'esponente alto non cambia la regola, conta solo QUALI fattori primi compaiono, non quanti.
Classifica la frazione $\frac{13}{27}$ .
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
- D Numero intero
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Risposta giusta: B. Decimale periodico semplice
$27 = 3^{3}$ : nel denominatore non compaiono né 2 né 5, quindi la frazione (già ridotta ai minimi termini) dà origine a un decimale periodico semplice. 'Limitato' sarebbe sbagliato perché servono solo 2 e/o 5; 'misto' richiederebbe la presenza di 2 o 5 accanto al 3; 'numero intero' capiterebbe solo se 13 fosse multiplo di 27, cosa che non è.
Nel numero 3,21818181818..., quali sono antiperiodo e periodo?
- A Antiperiodo 2, periodo 18
- B Antiperiodo 21, periodo 8
- C Antiperiodo 218, periodo 18
- D Nessun antiperiodo, periodo 218
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Risposta giusta: A. Antiperiodo 2, periodo 18
Subito dopo la virgola c'è la cifra '2', che non si ripete: è l'antiperiodo. Da lì in poi il blocco '18' si ripete all'infinito: è il periodo. Scegliere '21' come antiperiodo sposta erroneamente una cifra del periodo nell'antiperiodo; includere il '2' dentro il periodo (come nelle risposte che scrivono antiperiodo '218' o periodo '218' senza antiperiodo) è l'errore più comune quando si legge la divisione senza scrivere abbastanza cifre.
Perché una frazione ridotta ai minimi termini con denominatore contenente SOLO i fattori 2 e/o 5 dà sempre un decimale limitato?
- A Perché moltiplicando numeratore e denominatore per un'opportuna potenza di 2 o di 5 si può sempre trasformare il denominatore in una potenza di 10 (10, 100, 1000...), e dividere per una potenza di 10 significa solo spostare la virgola
- B Perché 2 e 5 sono numeri pari e i numeri pari danno sempre risultati esatti
- C Perché il numeratore è sempre più piccolo del denominatore
- D Perché la frazione, in questi casi, è sempre già un numero intero
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Risposta giusta: A. Perché moltiplicando numeratore e denominatore per un'opportuna potenza di 2 o di 5 si può sempre trasformare il denominatore in una potenza di 10 (10, 100, 1000...), e dividere per una potenza di 10 significa solo spostare la virgola
10 = 2 · 5, quindi un denominatore fatto solo di 2 e/o 5 si può sempre completare fino a diventare una potenza di 10 (10, 100, 1000...): la divisione corrisponde a spostare solo la virgola, senza resti che si ripetono. Il '2' non c'entra con la parità (5 è dispari!); la grandezza di numeratore e denominatore non influisce sul tipo di decimale; e la frazione non diventa un intero solo perché il denominatore ha questi fattori.
Che tipo di numero decimale genera la frazione $\frac{6}{15}$ ?
- A Periodico misto, perché 15 = 3 · 5 e il fattore 3 non è né 2 né 5
- B Limitato, perché ridotta ai minimi termini diventa $\frac{2}{5}$ , che ha denominatore 5
- C Periodico semplice, perché 15 non è una potenza di 10
- D Periodico misto, perché il numeratore 6 è pari
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Risposta giusta: B. Limitato, perché ridotta ai minimi termini diventa $\frac{2}{5}$ , che ha denominatore 5
Prima di scomporre il denominatore in fattori primi bisogna SEMPRE ridurre la frazione ai minimi termini: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ , e 5 contiene solo il fattore 5, quindi il decimale è limitato $(\frac{2}{5} = 0,4)$ . Scomporre subito 15 = 3 · 5 senza accorgersi che il 3 si semplifica con un fattore del 6 è l'errore più comune, e porta a concludere erroneamente 'periodico misto'. Il fatto che il numeratore sia pari non ha alcun ruolo nella classificazione.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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