Numeri razionali e insiemi numerici · 3ª media

Di che cosa parla il capitolo

Un numero è razionale quando si può scrivere come frazione fra due interi, con il denominatore diverso da zero. Il capitolo allarga la mappa dei numeri un passo per volta, e ogni passo nasce da un'operazione che nell'insieme precedente non si poteva sempre fare.

La catena degli insiemi

$ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ$

Ogni insieme contiene per intero quelli più interni: un naturale è anche intero, razionale e reale. Le lettere che danno il nome all'insieme stanno fuori dalla curva; dentro ci sono i numeri che gli appartengono.

Perché la mappa si allarga

Nei naturali $3 - 5$ non ha risultato: servono gli interi.

Negli interi $3 : 5$ non ha risultato: servono i razionali.

Nei razionali la diagonale del quadrato di lato $1$ non si scrive come frazione: servono i reali.

Ogni ampliamento rende sempre possibile un'operazione che prima riusciva soltanto in alcuni casi.

Si riparte dalle frazioni già note e si aggiunge il segno.
Si rifanno le quattro operazioni e le espressioni con frazioni con segno.
Si mettono a fuoco tre parole che si somigliano e non sono la stessa cosa: opposto, inverso e valore assoluto.
Si percorrono le due direzioni fra frazione e numero decimale: prevedere che decimale uscirà, e risalire dal decimale alla frazione generatrice.
Si arriva agli irrazionali e all'insieme dei numeri reali.

Alla fine del capitolo, guardando i fattori del denominatore saprai già se il decimale sarà limitato o periodico, prima di eseguire la divisione.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

Quiz di fine capitolo

Quale di questi numeri appartiene a Q (razionali) ma NON a Z (interi)?
- A −7
- B $\frac{12}{4}$
- C $\frac{4}{5}$
- D √3
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Risposta giusta: C. $\frac{4}{5}$
$\frac{4}{5} = 0,8$ è una frazione tra interi che non dà un numero intero, quindi sta in Q ma non in Z. Attenzione a $\frac{12}{4}$ : sembra una frazione, ma vale 3, quindi è un intero. E √3 non si può scrivere come frazione: è irrazionale, sta fuori da Q. La mappa da tenere in mente è N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Senza fare la divisione: che tipo di numero decimale genera la frazione $\frac{7}{12}$ ?
- A Decimale limitato
- B Decimale periodico semplice
- C Decimale periodico misto
- D Numero irrazionale
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Risposta giusta: C. Decimale periodico misto
Si scompone il denominatore: $12 = 2^{2} \cdot 3$ . C'è il fattore 2 insieme a un fattore diverso da 2 e 5 (il 3), quindi il decimale è periodico misto. Sarebbe limitato solo con fattori 2 e/o 5 da soli, periodico semplice se non ci fossero né 2 né 5. Una frazione tra interi non può mai generare un irrazionale.
Qual è l'inverso (reciproco) di $- \frac{2}{5}$ ?
- A $\frac{2}{5}$
- B $- \frac{5}{2}$
- C $\frac{5}{2}$
- D 0
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Risposta giusta: B. $- \frac{5}{2}$
L'inverso è il numero che moltiplicato per il dato fa 1: $(- \frac{2}{5}) \cdot (- \frac{5}{2}) = + 1$ , quindi si capovolge la frazione MA si tiene il segno meno. Chi risponde $\frac{2}{5}$ ha calcolato l'opposto (somma zero, non prodotto uno); chi risponde $\frac{5}{2}$ ha capovolto e cambiato segno insieme, ottenendo un prodotto pari a −1.
Quale di queste affermazioni sullo zero è vera?
- A Lo zero ha come inverso se stesso
- B Lo zero ha un opposto ma non ha un inverso
- C Lo zero non ha né opposto né inverso
- D Ogni numero razionale, zero compreso, ha un inverso
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Risposta giusta: B. Lo zero ha un opposto ma non ha un inverso
L'opposto di 0 è 0 stesso, perché 0 + 0 = 0. L'inverso invece non esiste: servirebbe un numero che moltiplicato per 0 dia 1, ma qualsiasi numero per 0 fa 0. È lo stesso motivo per cui non si può dividere per zero.
Calcola: $(- \frac{2}{3}) : (\frac{4}{5})$
- A $- \frac{8}{15}$
- B $- \frac{5}{6}$
- C $\frac{5}{6}$
- D $\frac{8}{15}$
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Risposta giusta: B. $- \frac{5}{6}$
Dividere significa moltiplicare per l'inverso del divisore: $(- \frac{2}{3}) \cdot (\frac{5}{4}) = - \frac{10}{12} = - \frac{5}{6}$ . Chi ottiene $- \frac{8}{15}$ ha moltiplicato senza capovolgere la seconda frazione; chi ottiene $\frac{5}{6}$ ha sbagliato la regola dei segni: negativo diviso positivo dà negativo, come nel prodotto.
Qual è la frazione generatrice del decimale periodico misto 0,8333… (antiperiodo 8, periodo 3)?
- A $\frac{83}{90}$
- B $\frac{5}{6}$
- C $\frac{75}{99}$
- D $\frac{83}{100}$
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Risposta giusta: B. $\frac{5}{6}$
Numeratore: numero senza virgola meno l'antiperiodo, cioè 83 − 8 = 75. Denominatore: un 9 per la cifra del periodo e uno 0 per quella dell'antiperiodo, cioè 90. Quindi $\frac{75}{90}$ , che ridotta ai minimi termini fa $\frac{5}{6}$ (verifica: 5 : 6 = 0,8333…). Chi sceglie $\frac{83}{90}$ ha dimenticato di sottrarre l'antiperiodo; $\frac{75}{99}$ nasce dal contare male i 9 e gli 0; $\frac{83}{100}$ tratta il numero come se fosse un decimale limitato.
I punti A(3; −2) e B(3; 5) hanno la stessa ascissa. Qual è la loro distanza?
- A 3
- B 7
- C −7
- D 2
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Risposta giusta: B. 7
Quando due punti sono allineati verticalmente, la distanza è il valore assoluto della differenza delle ordinate: |5 − (−2)| = |5 + 2| = 7. L'errore classico è calcolare 5 − 2 = 3 dimenticando che sottrarre un negativo equivale ad aggiungere. E una distanza non può mai essere negativa: il valore assoluto serve proprio a questo.
Domanda trappola: quale di queste frazioni genera un decimale LIMITATO?
- A $\frac{7}{15}$
- B $\frac{9}{12}$
- C $\frac{5}{21}$
- D $\frac{4}{18}$
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Risposta giusta: B. $\frac{9}{12}$
La regola dei fattori del denominatore vale solo con la frazione ridotta ai minimi termini! $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ e $4 = 2^{2}$ , solo fattori 2: decimale limitato (0,75). Chi guarda $12 = 2^{2} \cdot 3$ senza semplificare risponde «periodico misto» e cade nella trappola. Le altre non si salvano nemmeno semplificando: $\frac{7}{15}$ (15 = 3·5) è periodico misto, $\frac{5}{21}$ (21 = 3·7) è periodico semplice, $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$ è periodico semplice.