Matematica · 3ª media · Lezione 3 di 11

Addizioni e sottrazioni con frazioni con segno

Addizioni e sottrazioni con frazioni con segno trovando il denominatore comune (mcm), applicando le regole dei segni per togliere le parentesi e calcolando l'opposto di una frazione.

Apri la lezione interattiva

Teoria in pillole

Due frazioni si possono addizionare o sottrarre soltanto quando contano parti della stessa grandezza, cioè quando hanno lo stesso denominatore. Se i denominatori sono diversi si riscrivono entrambe le frazioni con un denominatore comune, e poi si opera sui soli numeratori.

Stesso denominatore

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

I numeratori si addizionano, il denominatore resta com'è: si stanno contando settimi con settimi.

Denominatori diversi

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$

Il denominatore comune è il minimo comune multiplo di

4

3

, cioè

12

. Le due barre sono uguali, ma finché una è divisa in quarti e l'altra in terzi le parti non sono confrontabili.

Con il segno

$- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = - \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Il segno appartiene al numeratore. Dopo aver portato allo stesso denominatore si addizionano numeri relativi, con le regole già note.

L'opposto di una frazione si ottiene cambiando il segno: l'opposto di $\frac{2}{5}$ è $- \frac{2}{5}$ , e la loro somma è $0$ .
Conviene ridurre le frazioni ai minimi termini prima di cercare il denominatore comune: i numeri restano piccoli.
Davanti a una parentesi preceduta dal segno meno si cambiano i segni di tutti i termini interni: $\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ .
Il risultato va sempre ridotto: $\frac{6}{8}$ e $\frac{3}{4}$ sono lo stesso numero, ma la forma finita è la seconda.

I denominatori non si addizionano mai. $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ non fa $\frac{2}{7}$ : basta guardare i numeri per accorgersene, perché $\frac{2}{7}$ è minore di $\frac{1}{3}$ , mentre una somma di due quantità positive deve essere maggiore di ciascuna. Il denominatore dice in quante parti è divisa l'unità, e quel numero non cambia perché si sommano delle parti.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Addizioni e sottrazioni con frazioni con segno

Apri la mappa in grande

Domande

Per calcolare $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$ , qual è il primo passo corretto?
- A Moltiplicare i numeratori tra loro
- B Sommare solo i due denominatori
- C Trovare il denominatore comune (mcm tra 5 e 3)
- D Sommare direttamente numeratori e denominatori: $\frac{3}{8}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Trovare il denominatore comune (mcm tra 5 e 3)
Prima di addizionare o sottrarre frazioni con denominatori diversi (qui 5 e 3) bisogna portarle allo stesso denominatore, di solito con il mcm: mcm(5,3) = 15. Moltiplicare i numeratori tra loro, sommare solo i denominatori oppure sommare direttamente numeratori e denominatori (come in $\frac{3}{8}$ ) sono errori frequenti quando si salta il passaggio del denominatore comune.
Qual è l'opposto di $- \frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{5}{3}$
- B $- \frac{3}{5}$
- C $- \frac{5}{3}$
- D $\frac{3}{5}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{3}{5}$
L'opposto di un numero è quello che, sommato ad esso, dà zero: basta cambiare il segno. L'opposto di $- \frac{3}{5}$ è quindi $\frac{3}{5}$ , perché $- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0$ . $\frac{5}{3}$ è l'inverso (la frazione capovolta, che serve per la moltiplicazione, non per l'addizione), e $- \frac{5}{3}$ mescola i due errori insieme.
Quale scrittura equivale a $- \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4})$ dopo aver tolto le parentesi?
- A $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
- B $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$
- C $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
- D $- \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
Per togliere le parentesi si usa la regola dei segni: meno per meno fa più, quindi $- (- \frac{1}{4})$ diventa $+ \frac{1}{4}$ , e l'espressione diventa $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ . Scrivere $- \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$ significa aver ignorato il doppio segno meno, trattandolo come un singolo meno; le scritture con $\frac{1}{2}$ positivo cambiano anche il segno del primo termine, che invece resta negativo.
Calcola: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9}$
- A $\frac{2}{9}$
- B $\frac{7}{9}$
- C $\frac{3}{18}$
- D $\frac{3}{9}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{3}{9}$
Con lo stesso denominatore si sottraggono solo i numeratori, lasciando il denominatore invariato: $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$ . Sommare invece di sottrarre dà $\frac{7}{9}$ ; sottrarre anche i denominatori $(\frac{3}{18})$ o riportare solo il secondo numeratore $(\frac{2}{9})$ sono errori di disattenzione tipici quando non si guarda bene quale operazione è richiesta.
Calcola: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$
- A $\frac{3}{12}$
- B $\frac{9}{12}$
- C $\frac{3}{7}$
- D $\frac{11}{12}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $\frac{11}{12}$
Il mcm tra 4 e 3 è 12: $\frac{1}{4}$ diventa $\frac{3}{12}$ e $\frac{2}{3}$ diventa $\frac{8}{12}$ , quindi la somma è $\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$ . $\frac{3}{7}$ nasce dal sommare direttamente numeratori e denominatori (errore molto comune); $\frac{3}{12}$ nasce dal cambiare il denominatore senza aggiornare i numeratori; $\frac{9}{12}$ nasce da una conversione sbagliata di $\frac{2}{3}$ (moltiplicando il numeratore per il fattore sbagliato).
Calcola: $- \frac{3}{4} + \frac{5}{6}$
- A $\frac{19}{12}$
- B $- \frac{19}{12}$
- C $\frac{1}{12}$
- D $- \frac{1}{12}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $\frac{1}{12}$
Il mcm tra 4 e 6 è 12: $- \frac{3}{4}$ diventa $- \frac{9}{12}$ e $\frac{5}{6}$ diventa $\frac{10}{12}$ , quindi $- \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{1}{12}$ . $- \frac{1}{12}$ nasce da uno scambio di segno nel risultato finale; $\frac{19}{12}$ e $- \frac{19}{12}$ nascono dal sommare i valori assoluti dei numeratori (9 e 10) ignorando che uno dei due termini è negativo.
Calcola: $2 - \frac{1}{3}$
- A $\frac{2}{3}$
- B $\frac{5}{3}$
- C $\frac{1}{3}$
- D $\frac{7}{3}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $\frac{5}{3}$
Per sottrarre una frazione da un numero intero, prima si scrive l'intero come frazione con lo stesso denominatore: $2 = \frac{6}{3}$ , quindi $\frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ . L'opzione $\frac{1}{3}$ nasce dal sottrarre 2-1 e mettere il risultato su 3 senza convertire l'intero; $\frac{7}{3}$ nasce da un'addizione al posto della sottrazione; $\frac{2}{3}$ è un errore di calcolo casuale.
Calcola: $- 1 - (- \frac{2}{5})$
- A $- \frac{3}{5}$
- B $\frac{7}{5}$
- C $- \frac{1}{5}$
- D $- \frac{7}{5}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $- \frac{3}{5}$
-1 si scrive come $- \frac{5}{5}$ ; poi si applica la regola dei segni: $- (- \frac{2}{5})$ diventa $+ \frac{2}{5}$ , quindi $- \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = - \frac{3}{5}$ . L'opzione $- \frac{7}{5}$ è l'errore-trappola più comune: si dimentica che meno per meno fa più e si continua a sottrarre $(- \frac{5}{5} - \frac{2}{5})$ , come se le due parentesi negative si confermassero a vicenda invece di annullarsi. $- \frac{1}{5}$ e $\frac{7}{5}$ sono altri errori di segno nel calcolo finale.
In una biblioteca $\frac{2}{5}$ dei libri sono romanzi e $\frac{1}{6}$ sono libri di scienze. Che frazione dei libri appartiene ad altri generi?
- A $\frac{12}{30}$
- B $\frac{13}{30}$
- C $\frac{8}{11}$
- D $\frac{17}{30}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. $\frac{13}{30}$
La frazione di libri 'altri generi' si trova sottraendo da 1 (l'intero) sia i romanzi sia i libri di scienze: $1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{6}$ . Con mcm 30: $\frac{30}{30} - \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{13}{30}$ . L'opzione $\frac{17}{30}$ è l'errore di chi si ferma a sommare romanzi e scienze $(\frac{12}{30} + \frac{5}{30})$ dimenticando di sottrarli dal totale; $\frac{8}{11}$ nasce dal sommare direttamente numeratori e denominatori di $\frac{2}{5}$ e $\frac{1}{6}$ invece di trovare il mcm; $\frac{12}{30}$ nasce da una conversione sbagliata di $\frac{1}{6}$ in trentesimi.
Un alunno scrive che l'opposto di $- \frac{2}{3}$ è $\frac{3}{2}$ . Che errore ha commesso?
- A Nessun errore: $\frac{3}{2}$ è la risposta corretta
- B Ha sbagliato solo il segno del numeratore, ma il valore andava comunque capovolto
- C Ha scambiato l'opposto con l'inverso: bastava cambiare segno $(\frac{2}{3})$ , non capovolgere la frazione
- D Ha applicato per errore la regola della sottrazione tra frazioni
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Ha scambiato l'opposto con l'inverso: bastava cambiare segno $(\frac{2}{3})$ , non capovolgere la frazione
L'opposto di una frazione si ottiene cambiando solo il segno, non capovolgendola: l'opposto di $- \frac{2}{3}$ è $+ \frac{2}{3}$ . Scrivere $\frac{3}{2}$ significa aver calcolato l'inverso (la frazione capovolta, che serve per moltiplicazione e divisione, non per l'addizione): è l'errore concettuale più frequente su questo argomento, perché le due operazioni si somigliano ma sono definite in modo opposto (somma zero contro prodotto uno).

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

Apri la lezione interattiva