Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 11

Frazioni, numeri decimali e segno

Trasformare frazioni in decimali (e viceversa), confrontare frazioni con denominatore comune o forma decimale, posizionarle sulla retta con segno e leggere le percentuali come frazioni in centesimi.

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Teoria in pillole

Frazioni e numeri decimali sono due modi di scrivere lo stesso numero razionale. Si passa dall'una all'altra forma quando conviene: la frazione tiene il valore esatto, il decimale rende immediato il confronto.

Dalla frazione al decimale

$\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$

$- \frac{2}{5} = - 0,4$

Si divide il numeratore per il denominatore; il segno resta quello della frazione.

Dal decimale alla frazione

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Un decimale limitato si scrive con una potenza di dieci al denominatore, poi si riduce.

Confronto con il segno

$- \frac{2}{5} > - \frac{3}{4}$

- \frac{2}{5}

vale

- 0,4

- \frac{3}{4}

vale

- 0,75

: fra due numeri negativi è maggiore quello più vicino a zero.

Una percentuale è una frazione con denominatore cento: $35 % = \frac{35}{100} = 0,35$ .
Per confrontare frazioni con denominatori scomodi conviene passare ai decimali; per calcolare senza perdere esattezza conviene restare in frazione.
Sulla retta i numeri crescono sempre da sinistra a destra, anche fra i negativi.

Non troncare un decimale periodico come se fosse limitato: $\frac{2}{3}$ non vale $0,66$ , vale $0, 6$ . Scrivere $0,66$ significa sostituire il numero con una sua approssimazione, e in un confronto stretto quella differenza decide il risultato.

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Domande

Quale frazione rappresenta il numero decimale 0,7?
- A $\frac{7}{10}$
- B $\frac{10}{7}$
- C $\frac{1}{7}$
- D $\frac{7}{100}$
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Risposta giusta: A. $\frac{7}{10}$
0,7 ha una sola cifra dopo la virgola: è nella posizione dei decimi, quindi $0,7 = \frac{7}{10}$ . $\frac{7}{100}$ sbaglia la posizione (corrisponderebbe a 0,07); $\frac{1}{7}$ e $\frac{10}{7}$ confondono o invertono numeratore e denominatore.
Come si trasforma una percentuale in frazione?
- A Si scrive il numero della percentuale come numero misto
- B Si moltiplica il numero della percentuale per 100
- C Si scrive il numero della percentuale su denominatore 10
- D Si scrive il numero della percentuale come numeratore su denominatore 100, poi si semplifica se possibile
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Risposta giusta: D. Si scrive il numero della percentuale come numeratore su denominatore 100, poi si semplifica se possibile
Una percentuale è per definizione una frazione in centesimi: n% = $\frac{n}{100}$ . Il denominatore 10 confonde percentuale con decimi; moltiplicare per 100 è il procedimento inverso (da decimale a percentuale); il numero misto non c'entra con questo passaggio.
Quali sono due metodi corretti per confrontare frazioni con denominatori diversi?
- A Portarle allo stesso denominatore, oppure trasformarle entrambe in numeri decimali (o percentuali)
- B Confrontare solo i numeratori, ignorando i denominatori
- C Moltiplicare le due frazioni tra loro e guardare il risultato
- D Sommare tra loro i due denominatori e confrontare i numeratori
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Risposta giusta: A. Portarle allo stesso denominatore, oppure trasformarle entrambe in numeri decimali (o percentuali)
I due metodi equivalenti sono portare le frazioni allo stesso denominatore oppure trasformarle in numeri decimali o percentuali. Sommare i denominatori non ha significato matematico; moltiplicare le frazioni serve ad altro; confrontare solo i numeratori funziona solo se i denominatori sono già uguali.
Trasforma in numero decimale la frazione $\frac{3}{8}$ .
- A 0,38
- B 0,83
- C 0,375
- D 2,66...
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Risposta giusta: C. 0,375
3 : 8 = 0,375: è un decimale limitato perché $8 = 2^{3}$ ha come unico fattore primo il 2. 0,38 è un arrotondamento scorretto; 2,66... nasce da un'inversione della divisione (8:3 invece di 3:8); 0,83 è un calcolo sbagliato della divisione.
Trasforma in frazione, ridotta ai minimi termini, il numero decimale 1,25.
- A $\frac{125}{100}$
- B $\frac{1}{4}$
- C $\frac{5}{4}$
- D $\frac{4}{5}$
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Risposta giusta: C. $\frac{5}{4}$
$1,25 = \frac{125}{100}$ ; semplificando per 25 si ottiene $\frac{5}{4}$ (cioè 1 1/4). $\frac{125}{100}$ è corretta come primo passaggio ma non è ridotta ai minimi termini; $\frac{4}{5}$ scambia numeratore e denominatore; $\frac{1}{4}$ dimentica la parte intera e considera solo i decimali (0,25 = 1/4, ma manca l'intero 1).
Confronta le frazioni $\frac{5}{6}$ e $\frac{7}{9}$ portandole allo stesso denominatore. Quale delle due è maggiore?
- A Non si possono confrontare
- B $\frac{7}{9}$
- C Sono equivalenti
- D $\frac{5}{6}$
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Risposta giusta: D. $\frac{5}{6}$
Il mcm tra 6 e 9 è 18: $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ e $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$ . Poiché $\frac{15}{18}$ > $\frac{14}{18}$ , $\frac{5}{6}$ è maggiore. Non sono equivalenti (14 ≠ 15); frazioni con denominatore diverso si confrontano sempre trovando un denominatore comune o passando ai decimali.
In una classe di 25 alunni, il 20% pratica nuoto. Quanti alunni sono?
- A 2,5
- B 5
- C 20
- D 4
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Risposta giusta: B. 5
20% = $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ ; un quinto di 25 alunni è 25 : 5 = 5. Rispondere '20' confonde il numero della percentuale con il numero di alunni; '4' e '2,5' nascono da calcoli scorretti (es. dividere per il numero sbagliato).
A quale numero decimale corrisponde la frazione $- \frac{7}{4}$ , e tra quali interi si posiziona sulla retta dei numeri?
- A -1,75, tra -2 e -1
- B 1,75, tra 1 e 2
- C -0,75, tra -1 e 0
- D -2,75, tra -3 e -2
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Risposta giusta: A. -1,75, tra -2 e -1
7 : 4 = 1,75; mantenendo il segno negativo della frazione si ottiene -1,75, che sta tra -2 e -1 sulla retta. L'opzione 1,75 (tra 1 e 2) perde il segno negativo (errore molto comune quando si trasformano frazioni con segno); -0,75 e -2,75 derivano da divisioni sbagliate.
Uno studente deve scrivere $\frac{3}{4}$ in percentuale e risponde '3%', spiegando che ha solo guardato il numeratore. Dove sta l'errore?
- A Ha sbagliato a fare la divisione tra numeratore e denominatore
- B Non ha trasformato la frazione in una equivalente con denominatore 100: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75 %$
- C In realtà $\frac{3}{4}$ corrisponde davvero al 3%, la risposta è corretta
- D Ha confuso il segno della frazione
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Risposta giusta: B. Non ha trasformato la frazione in una equivalente con denominatore 100: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75 %$
Una percentuale è una frazione con denominatore 100: bisogna trasformare $\frac{3}{4}$ in una frazione equivalente su 100 ( $\frac{3}{4} = \frac{75}{100}$ ), non prendere semplicemente il numeratore. È un errore-tipo frequente quando si passa da frazione a percentuale saltando il passaggio del denominatore 100.
Quale affermazione è corretta per confrontare due numeri negativi, in forma di frazione o di decimale?
- A Tra due numeri negativi, quello con valore assoluto maggiore è sempre il più grande
- B I numeri negativi non si possono confrontare con i numeri positivi
- C Per confrontare due negativi basta guardare le cifre, ignorando il segno
- D Tra due numeri negativi, quello con valore assoluto maggiore è il più piccolo (es. -2,5 < -1,25)
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Risposta giusta: D. Tra due numeri negativi, quello con valore assoluto maggiore è il più piccolo (es. -2,5 < -1,25)
Sulla retta dei numeri, più un numero negativo è lontano dallo zero (valore assoluto maggiore), più il numero è piccolo: -2,5 sta a sinistra di -1,25, quindi -2,5 < -1,25. Pensare il contrario è l'errore più comune quando si passa dai positivi ai negativi; i negativi si confrontano regolarmente anche con i positivi (sono sempre minori di essi); il segno non si può mai ignorare.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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