Matematica · 3ª media · Lezione 1 di 11

Ripasso delle frazioni

Ripasso delle frazioni di seconda media: frazione come parte di un intero e come divisione, frazioni equivalenti, riduzione ai minimi termini, confronto tra frazioni positive e frazione di un numero.

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Teoria in pillole

Una frazione indica una divisione fra due numeri interi: $\frac{3}{4}$ è il risultato di $3 : 4$ . Il denominatore dice in quante parti uguali si divide l'unità e non può essere zero; il numeratore dice quante di quelle parti si prendono.

Frazioni equivalenti

$\frac{3}{4} = \frac{(3 \cdot 5)}{(4 \cdot 5)} = \frac{15}{20}$

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini per lo stesso numero, diverso da zero, il valore non cambia: è la proprietà invariantiva.

Riduzione ai minimi termini

$\frac{18}{24} = \frac{(18 : 6)}{(24 : 6)} = \frac{3}{4}$

Si divide per un divisore comune maggiore di

1

. Quando non ne restano, la frazione è ridotta ai minimi termini.

Frazione propria

$\frac{3}{4}$

Il numeratore è minore del denominatore, quindi la frazione vale meno di

1

Frazione impropria

$\frac{7}{4}$

Il numeratore è maggiore del denominatore:

\frac{7}{4} > 1

Frazione apparente

$\frac{8}{4} = 2$

Il numeratore è un multiplo del denominatore, quindi la frazione vale un numero intero.

Per confrontare due frazioni si portano allo stesso denominatore, oppure si trasformano in numeri decimali.
La frazione di un numero si calcola dividendo per il denominatore e moltiplicando per il numeratore: i $\frac{3}{4}$ di $20$ sono $20 : 4 \cdot 3 = 15$ .
Ogni numero intero si può scrivere come frazione: $5 = \frac{5}{1}$ .

La proprietà invariantiva vale per la moltiplicazione e la divisione, non per l'addizione. Aggiungendo $1$ a entrambi i termini di $\frac{1}{2}$ si ottiene $\frac{2}{3}$ , che è un altro numero. Il controllo è immediato: $\frac{1}{2}$ vale $0,5$ e $\frac{2}{3}$ vale $0, 6$ .

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Simulazioni

Costruisci una frazione (PhET, sito esterno): Prova a rappresentare la stessa frazione con numeri e figure differenti e osserva quali caratteristiche restano invarianti nel passaggio tra i modelli.
Confronto di frazioni (PhET, sito esterno): Prova ad abbinare rapidamente scritture numeriche e modelli grafici delle frazioni e osserva quali strategie rendono più sicuro il confronto.
Frazioni: Equivalenza (PhET, sito esterno): Prova a confrontare equivalenze numeriche, figure e posizioni sulla retta e osserva quale proprietà comune conferma che il valore non cambia.
Frazioni: Introduzione (PhET, sito esterno): Prova a passare tra figura, scrittura numerica e retta per una frazione scelta e osserva come tutte le rappresentazioni conservano lo stesso valore.

Domande

In una confezione di 12 matite, 5 sono rosse. Quale frazione delle matite è rossa?
- A $\frac{12}{5}$
- B $\frac{5}{7}$
- C $\frac{5}{12}$
- D $\frac{7}{12}$
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Risposta giusta: C. $\frac{5}{12}$
La frazione parte/intero mette al numeratore la quantità considerata (5 matite rosse) e al denominatore il totale (12 matite): $\frac{5}{12}$ . $\frac{12}{5}$ inverte numeratore e denominatore, scambiando parte e tutto. $\frac{7}{12}$ è la frazione delle matite NON rosse. $\frac{5}{7}$ confronta le rosse con le non rosse invece che con il totale.
Quale scrittura rappresenta correttamente la frazione $\frac{3}{8}$ come operazione di divisione?
- A 3 · 8
- B 3 : 8
- C 8 − 3
- D 8 : 3
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Risposta giusta: B. 3 : 8
Una frazione a/b equivale sempre alla divisione numeratore : denominatore, quindi $\frac{3}{8} = 3 : 8$ . 8 : 3 inverte l'ordine (darebbe l'inverso di $\frac{3}{8}$ ). 3 · 8 e 8 − 3 sono operazioni completamente diverse, non collegate al significato di frazione.
Quale delle seguenti frazioni è equivalente a $\frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{6}{5}$
- B $\frac{5}{3}$
- C $\frac{6}{10}$
- D $\frac{3}{10}$
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Risposta giusta: C. $\frac{6}{10}$
$\frac{6}{10}$ si ottiene moltiplicando sia numeratore sia denominatore di $\frac{3}{5}$ per 2: è una frazione equivalente. $\frac{5}{3}$ inverte numeratore e denominatore (è l'inverso, non l'equivalente). $\frac{3}{10}$ ha moltiplicato per 2 solo il denominatore, lasciando il numeratore invariato. $\frac{6}{5}$ ha moltiplicato per 2 solo il numeratore: in entrambi i casi il valore della frazione cambia.
Espandi la frazione $\frac{4}{7}$ moltiplicando numeratore e denominatore per 3. Quale frazione ottieni?
- A $\frac{4}{21}$
- B $\frac{12}{21}$
- C $\frac{12}{7}$
- D $\frac{7}{10}$
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Risposta giusta: B. $\frac{12}{21}$
Per espandere una frazione si moltiplicano ENTRAMBI i termini per lo stesso numero: 4·3=12, 7·3=21 → $\frac{12}{21}$ . $\frac{4}{21}$ ha moltiplicato per 3 solo il denominatore, lasciando il numeratore com'era. $\frac{12}{7}$ ha moltiplicato per 3 solo il numeratore. $\frac{7}{10}$ ha sommato 3 a numeratore e denominatore invece di moltiplicare: sommare non conserva il valore della frazione.
Riduci ai minimi termini la frazione $\frac{18}{24}$ .
- A $\frac{2}{3}$
- B $\frac{9}{12}$
- C $\frac{3}{4}$
- D $\frac{6}{8}$
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Risposta giusta: C. $\frac{3}{4}$
18 e 24 hanno massimo comun divisore 6: dividendo entrambi i termini per 6 si ottiene $\frac{3}{4}$ , che non si può più semplificare. $\frac{9}{12}$ è stata ridotta dividendo solo per 2: è equivalente ma non è ancora ai minimi termini. $\frac{6}{8}$ è stata ridotta dividendo solo per 3: stesso problema. $\frac{2}{3}$ nasce da un errore di calcolo, come dividere numeratore e denominatore per numeri diversi.
Tra queste frazioni con lo stesso denominatore, quale è la maggiore: $\frac{5}{9}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{2}{9}$ ?
- A $\frac{5}{9}$
- B $\frac{7}{9}$
- C $\frac{2}{9}$
- D $\frac{4}{9}$
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Risposta giusta: B. $\frac{7}{9}$
Quando le frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore più grande: $\frac{7}{9}$ rappresenta più parti dell'intero rispetto alle altre. Le altre opzioni hanno numeratori più piccoli, quindi rappresentano quantità minori.
Quale frazione è maggiore: $\frac{3}{4}$ oppure $\frac{5}{8}$ ?
- A $\frac{3}{4}$
- B $\frac{5}{8}$
- C Non si può stabilire senza disegnarle
- D Sono equivalenti
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Risposta giusta: A. $\frac{3}{4}$
Per confrontare frazioni con denominatori diversi si riducono allo stesso denominatore: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . Confrontando $\frac{6}{8}$ e $\frac{5}{8}$ , è maggiore $\frac{3}{4}$ . 'Sono equivalenti' è l'errore di chi si ferma a un confronto visivo senza calcolare il denominatore comune. 'Non si può stabilire' è sbagliato: due frazioni positive si possono sempre confrontare con un calcolo.
In una classe di 25 alunni, i $\frac{3}{5}$ hanno portato il diario compilato. Quanti alunni sono?
- A 75
- B 5
- C 10
- D 15
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Risposta giusta: D. 15
Si divide il totale per il denominatore (25:5=5, il valore di $\frac{1}{5}$ ) e si moltiplica per il numeratore (5·3=15). '5' è l'errore di chi divide per il denominatore ma dimentica di moltiplicare per il numeratore. '75' è l'errore opposto: moltiplica per il numeratore (25·3) ma dimentica di dividere per il denominatore. '10' è il complementare, cioè gli alunni che NON hanno portato il diario (25−15), non quelli richiesti dal problema.
In un torneo di pallavolo, 18 giocatori indossano la maglia gialla. Sapendo che rappresentano i $\frac{3}{4}$ di tutti i partecipanti, quanti sono in totale i partecipanti al torneo?
- A 6
- B 21
- C 13,5
- D 24
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Risposta giusta: D. 24
Se 18 giocatori corrispondono a $\frac{3}{4}$ del totale, prima si trova il valore di $\frac{1}{4}$ dividendo per 3 (18:3=6), poi si moltiplica per 4 per ottenere il totale (6·4=24). '13,5' nasce da $18 \cdot \frac{3}{4}$ , cioè applicare l'operazione al contrario (si moltiplica invece di dividere). '21' è una somma senza senso rispetto al procedimento corretto. '6' si ferma al valore di una sola parte $(\frac{1}{4})$ senza moltiplicare per le 4 parti dell'intero.
Un compagno dice: 'Le frazioni $\frac{10}{15}$ e $\frac{12}{18}$ non sono equivalenti, perché hanno numeratori e denominatori diversi.' Che errore sta facendo?
- A Ha torto: riducendo entrambe ai minimi termini si ottiene $\frac{2}{3}$ in entrambi i casi, quindi sono equivalenti
- B Ha torto, ma il valore ridotto comune è $\frac{1}{2}$ , non $\frac{2}{3}$
- C Ha ragione: due frazioni scritte con numeri diversi non possono mai essere equivalenti
- D Ha ragione, ma solo perché 15 e 18 non sono multipli tra loro
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Risposta giusta: A. Ha torto: riducendo entrambe ai minimi termini si ottiene $\frac{2}{3}$ in entrambi i casi, quindi sono equivalenti
L'errore tipico è giudicare l'equivalenza guardando solo le cifre scritte, senza ridurre le frazioni: $\frac{10}{15} : 5 = \frac{2}{3}$ e $\frac{12}{18} : 6 = \frac{2}{3}$ , quindi rappresentano lo stesso valore e SONO equivalenti: il compagno ha torto. L'opzione che parla di un valore ridotto di $\frac{1}{2}$ riconosce l'errore concettuale del compagno ma sbaglia il calcolo della riduzione (il valore comune corretto è $\frac{2}{3}$ , non $\frac{1}{2}$ ). L'opzione che dà ragione al compagno in generale ripete il suo stesso errore, affermando falsamente che numeri diversi escludono sempre l'equivalenza. L'opzione sui 'multipli' inventa una condizione che non è il vero criterio di equivalenza tra frazioni.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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