Matematica · 3ª media · Lezione 4 di 11

Moltiplicazioni e potenze con frazioni con segno

Moltiplicare frazioni con segno, semplificare a croce, applicare le potenze di frazioni positive e negative e calcolare la frazione di una frazione.

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Teoria in pillole

Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando fra loro i numeratori e fra loro i denominatori. Una potenza si applica all'intera frazione, quindi sia al numeratore sia al denominatore.

Prodotto

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

Numeratore per numeratore, denominatore per denominatore.

Semplificazione a croce

$\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{6}$

Prima di moltiplicare si semplificano

3

con

9

4

con

8

: si lavora con numeri piccoli e il risultato è già ridotto.

Potenza

${(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}$

L'esponente vale per tutta la frazione. Con base negativa il segno segue la regola delle potenze:

{(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

, mentre

{(- \frac{2}{3})}^{3} = - \frac{8}{27}

Esponente negativo

${(\frac{2}{3})}^{- 1} = \frac{3}{2}$

${(\frac{2}{3})}^{- 2} = \frac{9}{4}$

Si capovolge la frazione e si usa l'esponente positivo. La base deve essere diversa da zero.

La frazione di una frazione è un prodotto: la metà di $\frac{3}{5}$ è $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ .
Il segno del prodotto segue la regola dei numeri relativi: fattori concordi danno un risultato positivo, discordi negativo.
Moltiplicare per una frazione minore di $1$ rimpicciolisce: $6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ , che è minore di $6$ .

La potenza non riguarda il solo numeratore: ${(\frac{2}{3})}^{2}$ non è $\frac{4}{3}$ , è $\frac{4}{9}$ . Il controllo è il significato della potenza, cioè la frazione ripetuta come fattore: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ . Attenzione anche alla differenza fra ${(- \frac{2}{3})}^{2}$ , che vale $\frac{4}{9}$ , e $- {(\frac{2}{3})}^{2}$ , che vale $- \frac{4}{9}$ : nel secondo caso il segno meno resta fuori dalla potenza.

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La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Domande

Nella moltiplicazione di due frazioni a/b · c/d, quale regola si applica?
- A $\frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}$ : numeratore per numeratore, denominatore per denominatore
- B $\frac{(a \cdot c)}{(b + d)}$ : si moltiplicano i numeratori e si sommano i denominatori
- C $\frac{(a \cdot d)}{(b \cdot c)}$ : si moltiplica in croce
- D $\frac{(a + c)}{(b + d)}$ : si sommano numeratori e denominatori
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Risposta giusta: A. $\frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}$ : numeratore per numeratore, denominatore per denominatore
Nella moltiplicazione di frazioni si moltiplicano tra loro i numeratori e tra loro i denominatori: $\frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}$ . La regola 'a·d/b·c', cioè moltiplicare in croce, è quella che si usa nella divisione (moltiplicare per l'inversa del divisore), non nella moltiplicazione diretta. L'opzione $\frac{(a \cdot c)}{(b + d)}$ , che moltiplica i numeratori ma somma i denominatori, mescola in modo scorretto moltiplicazione e addizione. Sommare sia i numeratori sia i denominatori, come in $\frac{(a + c)}{(b + d)}$ , non è mai un'operazione valida tra frazioni.
Il prodotto di due frazioni discordi (con segni diversi) è sempre:
- A dipende dai valori numerici
- B sempre uguale a zero
- C positivo
- D negativo
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Risposta giusta: D. negativo
Come per i numeri interi, il prodotto di due fattori discordi (uno positivo e uno negativo) è sempre negativo, qualunque sia il loro valore. È positivo solo se le frazioni sono concordi (stesso segno). Il risultato non è mai automaticamente zero, a meno che uno dei fattori non sia proprio 0.
Una potenza con base negativa ha risultato positivo quando:
- A il numeratore della base è maggiore del denominatore
- B l'esponente è dispari
- C la base è una frazione propria (minore di 1)
- D l'esponente è pari
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Risposta giusta: D. l'esponente è pari
Elevare a potenza una base negativa equivale a moltiplicare più fattori negativi uguali tra loro: se il numero di fattori (l'esponente) è pari, il prodotto è positivo; se è dispari, resta negativo. Il fatto che la frazione sia propria o impropria non c'entra con il segno del risultato.
Calcola $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$ (usa la semplificazione a croce dove conviene).
- A $\frac{11}{13}$
- B $\frac{3}{2}$
- C $\frac{24}{36}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: D. $\frac{2}{3}$
Semplificando a croce: 3 e 9 hanno fattore comune 3 (diventano 1 e 3), 8 e 4 hanno fattore comune 4 (diventano 2 e 1); resta 1·2 / 1·3 = 2/3. Chi risponde $\frac{24}{36}$ ha moltiplicato correttamente numeratori e denominatori ma ha dimenticato di ridurre ai minimi termini, un errore molto comune. Chi risponde $\frac{11}{13}$ ha sommato numeratori e denominatori invece di moltiplicarli. Chi risponde $\frac{3}{2}$ ha capovolto il risultato come se stesse dividendo.
Calcola $(- \frac{2}{5}) \cdot \frac{3}{7}$ .
- A $\frac{6}{35}$
- B $- \frac{6}{12}$
- C $\frac{6}{12}$
- D $- \frac{6}{35}$
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Risposta giusta: D. $- \frac{6}{35}$
I fattori sono discordi (uno negativo, uno positivo), quindi il risultato è negativo: numeratori 2·3=6, denominatori 5·7=35, cioè $- \frac{6}{35}$ . Chi risponde $\frac{6}{35}$ ha calcolato bene i numeri ma ha sbagliato il segno, trattando i fattori come se fossero concordi. Chi risponde $- \frac{6}{12}$ mantiene il segno corretto ma ha sommato i denominatori (5+7) invece di moltiplicarli. Chi risponde $\frac{6}{12}$ unisce entrambi gli errori: sbaglia il segno (positivo invece di negativo) e somma i denominatori invece di moltiplicarli.
Calcola ${(\frac{3}{5})}^{2}$ .
- A $\frac{9}{5}$
- B $\frac{9}{25}$
- C $\frac{3}{25}$
- D $\frac{6}{10}$
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Risposta giusta: B. $\frac{9}{25}$
Elevare al quadrato una frazione significa moltiplicarla per se stessa: $\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ (si eleva sia il numeratore sia il denominatore). Chi risponde $\frac{6}{10}$ ha confuso l'elevamento a potenza con la moltiplicazione per l'esponente $(3 \cdot \frac{2}{5} \cdot 2)$ . Chi risponde $\frac{3}{25}$ ha elevato al quadrato solo il denominatore, dimenticando il numeratore. Chi risponde $\frac{9}{5}$ ha fatto l'errore opposto, elevando solo il numeratore.
Calcola ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .
- A $\frac{1}{27}$
- B $- \frac{1}{9}$
- C $- \frac{1}{27}$
- D $- \frac{1}{3}$
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Risposta giusta: C. $- \frac{1}{27}$
L'esponente 3 è dispari, quindi il risultato mantiene il segno negativo della base: $(- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27}$ . Chi risponde $\frac{1}{27}$ ha applicato per sbaglio la regola dell'esponente pari (segno positivo) a un esponente dispari. Chi risponde $- \frac{1}{9}$ ha elevato il numeratore al cubo ma il denominatore solo al quadrato. Chi risponde $- \frac{1}{3}$ non ha eseguito alcuna elevazione, lasciando la base invariata.
Un video didattico dura 40 minuti. I $\frac{3}{8}$ del tempo sono dedicati alla teoria. Quanti minuti dura la parte teorica?
- A 15 minuti
- B 120 minuti
- C 45 minuti
- D 5 minuti
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Risposta giusta: A. 15 minuti
Calcolare 'i $\frac{3}{8}$ di 40' significa moltiplicare $\frac{3}{8} \cdot \frac{40}{1} = \frac{120}{8} = 15$ minuti. Chi risponde 120 minuti ha moltiplicato 3·40 ma ha dimenticato di dividere per il denominatore 8. Chi risponde 5 minuti ha calcolato solo 40:8, dimenticando poi di moltiplicare per 3. Chi risponde 45 minuti ottiene un valore assurdo, superiore alla durata totale del video: un buon controllo di senso comune per accorgersi dell'errore.
Nel prodotto $(- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{2}{5}) \cdot (\frac{1}{6})$ , quanti fattori sono negativi e qual è il segno del risultato?
- A 4 fattori negativi, risultato positivo
- B 2 fattori negativi, risultato positivo
- C 3 fattori negativi, risultato positivo
- D 3 fattori negativi, risultato negativo
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Risposta giusta: D. 3 fattori negativi, risultato negativo
I fattori negativi sono $- \frac{1}{2}$ , $- \frac{3}{4}$ e $- \frac{2}{5}$ : sono 3, cioè un numero dispari di fattori negativi, quindi il prodotto complessivo è negativo (il quarto fattore, $\frac{1}{6}$ , è positivo e non cambia questa conclusione). Chi risponde 'risultato positivo' confonde la regola: con un numero dispari di fattori negativi il prodotto resta negativo, diventa positivo solo con un numero pari. Le altre opzioni sbagliano semplicemente a contare i fattori negativi presenti nell'espressione.
Un ragazzo calcola $(- \frac{3}{5}) \cdot (- \frac{2}{7})$ e risponde: «Il risultato è negativo, perché sto moltiplicando due numeri negativi, come quando si sommano due numeri negativi». Qual è l'errore e qual è il risultato corretto?
- A L'errore è solo nel calcolo dei numeratori: il risultato corretto è $- \frac{6}{35}$
- B Ha confuso la regola dei segni dell'addizione con quella della moltiplicazione: due fattori negativi (concordi) danno un prodotto positivo, quindi il risultato corretto è $+ \frac{6}{35}$
- C Il ragionamento è corretto: due frazioni negative moltiplicate danno sempre un risultato negativo, cioè $- \frac{6}{35}$
- D L'errore è che si sarebbero dovuti sommare i denominatori: il risultato corretto è $+ \frac{6}{12}$
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Risposta giusta: B. Ha confuso la regola dei segni dell'addizione con quella della moltiplicazione: due fattori negativi (concordi) danno un prodotto positivo, quindi il risultato corretto è $+ \frac{6}{35}$
Questo è l'errore-tipo più frequente del capitolo: nell'addizione, sommare due numeri negativi dà un risultato negativo, ma nella moltiplicazione due fattori concordi (stesso segno, in questo caso entrambi negativi) danno sempre un prodotto positivo. Il calcolo corretto è quindi $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$ , con segno positivo: $+ \frac{6}{35}$ . Le altre opzioni tengono il segno sbagliato $(- \frac{6}{35})$ oppure introducono un secondo errore, sommando i denominatori invece di moltiplicarli.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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