Matematica · 3ª media · Lezione 5 di 11

Divisioni con frazioni con segno

Divisione di frazioni con segno: si moltiplica per l'inverso del divisore, applicando la regola dei segni della moltiplicazione.

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Teoria in pillole

Dividere per una frazione significa moltiplicare per il suo inverso, cioè per la frazione capovolta. L'inverso esiste solo se la frazione è diversa da zero: lo zero non ha inverso, e non si può dividere per zero.

La regola

$\frac{5}{8} : \frac{3}{7} = \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{3} = \frac{35}{24}$

Si capovolge il divisore, cioè il secondo numero, mai il dividendo.

Perché il risultato cresce

Quante volte un quarto di metro sta in tre mezzi di metro?

$\frac{3}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

Dividere è chiedersi quante volte il divisore è contenuto nel dividendo. Ogni mezzo contiene due quarti, e i mezzi sono tre: sei volte.

Il segno del quoziente segue la regola della moltiplicazione: concordi danno positivo, discordi negativo.
Dividere per un numero minore di $1$ dà un risultato maggiore del dividendo; dividere per un numero maggiore di $1$ lo rimpicciolisce.
Un numero intero si capovolge scrivendolo prima come frazione: l'inverso di $4 = \frac{4}{1}$ è $\frac{1}{4}$ .
Dopo aver capovolto, si può semplificare a croce come in ogni prodotto.

Si capovolge il secondo numero, non il primo: $\frac{5}{8} : \frac{3}{7}$ non è $\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{7}$ . Il controllo si fa con un caso facile, dove il risultato si conosce già: $1 : \frac{1}{2}$ deve dare $2$ , perché in un intero ci stanno due metà. Capovolgendo il dividendo si otterrebbe $\frac{1}{2}$ , cioè il contrario.

La mappa

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Domande

Qual è l'inverso (reciproco) di $\frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{5}{3}$
- B $\frac{3}{5}$
- C $- \frac{3}{5}$
- D $- \frac{5}{3}$
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Risposta giusta: A. $\frac{5}{3}$
L'inverso di una frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$ . $- \frac{3}{5}$ è l'opposto di $\frac{3}{5}$ (cambia solo il segno, ha somma zero con $\frac{3}{5}$ , non prodotto uno): è l'errore-tipo più frequente, confondere opposto e inverso. $\frac{3}{5}$ è il numero di partenza, non è stato invertito. $- \frac{5}{3}$ capovolge correttamente la frazione ma aggiunge anche un cambio di segno inutile, perché $\frac{3}{5}$ è positivo.
Qual è l'inverso di 0?
- A Non esiste
- B -1
- C 0
- D 1
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Risposta giusta: A. Non esiste
Non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia 1, perché 0 moltiplicato per qualunque numero è sempre 0: per questo lo zero è l'unico numero che non ha inverso (ha invece l'opposto, che è se stesso). Le opzioni 0, 1 e -1 trattano lo zero come un numero qualunque, dimenticando questa eccezione fondamentale.
Il quoziente tra due frazioni discordi (con segni diversi) è sempre:
- A Negativo
- B Positivo
- C Dipende dai valori numerici delle frazioni
- D Nullo
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Risposta giusta: A. Negativo
Nella divisione tra frazioni valgono le stesse regole dei segni della moltiplicazione tra numeri interi: concordi (stesso segno) → quoziente positivo; discordi (segni diversi) → quoziente negativo, indipendentemente dai valori numerici coinvolti. 'Positivo' scambia la regola dei discordi con quella dei concordi; 'nullo' e 'dipende dai valori' inventano condizioni che non esistono: il segno del quoziente dipende solo dai segni delle frazioni, mai dalla loro grandezza.
Quale moltiplicazione è equivalente a $\frac{5}{8} : \frac{3}{7}$ ?
- A $\frac{5}{8} + \frac{7}{3}$
- B $\frac{5}{8} \cdot \frac{7}{3}$
- C $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}$
- D $\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{7}$
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Risposta giusta: B. $\frac{5}{8} \cdot \frac{7}{3}$
Per dividere per una frazione si moltiplica per la sua inversa: $\frac{5}{8} : \frac{3}{7} = \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{3}$ . ' $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}$ ' è l'errore di chi dimentica di capovolgere il divisore e moltiplica le frazioni così come sono scritte. ' $\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{7}$ ' capovolge la frazione sbagliata (il dividendo invece del divisore). ' $\frac{5}{8} + \frac{7}{3}$ ' confonde del tutto l'operazione, sommando invece di moltiplicare.
Calcola: $\frac{3}{4} : 6$
- A $\frac{3}{24}$
- B 8
- C $\frac{1}{8}$
- D $\frac{9}{2}$
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Risposta giusta: C. $\frac{1}{8}$
$\frac{3}{4} : 6$ diventa $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ . $\frac{9}{2}$ nasce da chi moltiplica direttamente $\frac{3}{4} \cdot 6$ dimenticando di prendere l'inversa del divisore. 8 nasce da chi capovolge la frazione sbagliata (il dividendo $\frac{3}{4}$ invece del divisore 6). $\frac{3}{24}$ è il calcolo corretto ma non ridotto ai minimi termini.
Calcola: $- \frac{5}{6} : \frac{2}{3}$
- A $\frac{5}{4}$
- B $- \frac{5}{9}$
- C $- \frac{15}{12}$
- D $- \frac{5}{4}$
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Risposta giusta: D. $- \frac{5}{4}$
$- \frac{5}{6} : \frac{2}{3} = - \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = - \frac{15}{12} = - \frac{5}{4}$ . Il risultato è negativo perché le frazioni sono discordi (una negativa, una positiva). ' $\frac{5}{4}$ ' nasce da un errore di segno (discordi trattati come concordi). ' $- \frac{5}{9}$ ' nasce da chi moltiplica le frazioni così come sono scritte, senza capovolgere il divisore. ' $- \frac{15}{12}$ ' è il valore corretto ma non semplificato.
Calcola: $(- \frac{4}{9}) : (- \frac{2}{3})$
- A $\frac{2}{3}$
- B $- \frac{2}{3}$
- C $\frac{8}{27}$
- D $\frac{12}{18}$
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Risposta giusta: A. $\frac{2}{3}$
Due frazioni negative sono concordi, quindi il quoziente è positivo: $- \frac{4}{9} \cdot (- \frac{3}{2}) = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ . ' $- \frac{2}{3}$ ' nasce da un errore di segno (concordi trattati come discordi). ' $\frac{8}{27}$ ' nasce da chi moltiplica direttamente le frazioni senza capovolgere il divisore. ' $\frac{12}{18}$ ' è il valore corretto ma non ridotto ai minimi termini.
Un artigiano deve travasare 9 litri di vernice in barattoli da $\frac{3}{5}$ di litro ciascuno. Quanti barattoli riesce a riempire completamente?
- A 15
- B $\frac{1}{15}$
- C $\frac{27}{5}$
- D 3
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Risposta giusta: A. 15
$9 : \frac{3}{5} = 9 \cdot \frac{5}{3} = \frac{45}{3} = 15$ barattoli. ' $\frac{27}{5}$ ' nasce da chi moltiplica $9 \cdot \frac{3}{5}$ invece di dividere. ' $\frac{1}{15}$ ' nasce da chi scambia dividendo e divisore, calcolando $\frac{3}{5} : 9$ anziché $9 : \frac{3}{5}$ . '3' nasce da chi considera solo il numeratore della frazione (9 : 3) ignorando il denominatore 5.
Perché per dividere due frazioni si moltiplica per l'inverso del divisore, invece di dividere direttamente numeratore per numeratore e denominatore per denominatore?
- A Perché dividere numeratore per numeratore e denominatore per denominatore darebbe sempre un risultato sbagliato, anche quando i numeri sono divisibili esattamente
- B Perché è una convenzione arbitraria, senza un vero motivo matematico
- C Perché le frazioni non si possono dividere tra loro, si possono solo moltiplicare
- D Perché moltiplicare per l'inverso del divisore trasforma la divisione in una moltiplicazione, operazione già nota tra frazioni, senza cambiare il risultato dell'operazione originale
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Risposta giusta: D. Perché moltiplicare per l'inverso del divisore trasforma la divisione in una moltiplicazione, operazione già nota tra frazioni, senza cambiare il risultato dell'operazione originale
a/b : c/d = a/b · d/c perché moltiplicare per l'inverso di un numero equivale a 'neutralizzarlo' $(\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1)$ : è il modo per trasformare una divisione, che tra frazioni sarebbe scomoda da eseguire direttamente, in una moltiplicazione che sappiamo già fare. Non è una convenzione senza motivo: ha una giustificazione precisa. Non è vero che dividere numeratore per numeratore dia sempre risultato sbagliato: a volte per coincidenza numerica funziona, ma non è il metodo generale corretto. E la divisione tra frazioni esiste ed è definita proprio come moltiplicazione per l'inversa, non è esclusa.
Sara deve calcolare $(- \frac{2}{3}) : (- \frac{4}{9})$ . Ragiona così: 'Nella sottrazione, due numeri negativi non danno mai un risultato positivo, quindi anche qui il risultato sarà negativo.' Cosa c'è di sbagliato, e qual è il segno corretto del risultato?
- A Il risultato è nullo, perché due frazioni negative si annullano a vicenda nella divisione
- B Il ragionamento di Sara è sbagliato: nella divisione, come nella moltiplicazione, vale la regola dei segni del prodotto, non quella della sottrazione; due frazioni concordi (entrambe negative) danno un quoziente positivo
- C Il ragionamento di Sara è corretto: il risultato è negativo, perché due numeri negativi divisi restano negativi
- D Il risultato è positivo, ma solo perché in questo caso i numeratori sono entrambi pari
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Risposta giusta: B. Il ragionamento di Sara è sbagliato: nella divisione, come nella moltiplicazione, vale la regola dei segni del prodotto, non quella della sottrazione; due frazioni concordi (entrambe negative) danno un quoziente positivo
Sara confonde la regola dei segni della sottrazione con quella della divisione, che segue invece le stesse regole della moltiplicazione: frazioni concordi → quoziente positivo, frazioni discordi → quoziente negativo. Qui entrambe le frazioni sono negative (concordi), quindi $(- \frac{2}{3}) : (- \frac{4}{9}) = (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{9}{4}) = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ , un risultato positivo. L'opzione 'negativo' ripete esattamente l'errore di Sara; 'positivo ma solo perché i numeratori sono pari' inventa una condizione inesistente (il segno dipende solo dai segni delle frazioni, mai dalla parità dei numeratori); 'nullo' applica alla divisione una regola di annullamento che non esiste.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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