Espressioni con frazioni e segni

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

1. Osserva l'espressione: $\frac{5}{6}:{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}·\frac{3}{10}$. Qual è il primo calcolo da eseguire, rispettando le precedenze?

   • A La divisione $\frac{5}{6}:{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$
   • B La potenza ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$
   • C La moltiplicazione $\frac{1}{4}·\frac{3}{10}$
   • D La sottrazione di $\frac{2}{5}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. La potenza ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$

   Le potenze si calcolano sempre prima di moltiplicazioni e divisioni, che a loro volta precedono addizioni e sottrazioni; qui non ci sono parentesi che cambiano l'ordine, quindi si parte da ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$. La divisione $\frac{5}{6}:{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ sembra la prima operazione scritta, ma non si può eseguire finché non si conosce il valore della potenza; anche la moltiplicazione $\frac{1}{4}·\frac{3}{10}$ e la sottrazione di $\frac{2}{5}$ vengono dopo nella gerarchia delle operazioni.

2. Nell'espressione $\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)·\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$, qual è il primo passaggio corretto?

   • A Calcolare $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$, perché sono gli ultimi due termini scritti
   • B Calcolare $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$, perché è dentro parentesi
   • C Calcolare $\frac{2}{3}·\frac{3}{4}$ ignorando la parentesi
   • D Calcolare $\frac{1}{2}·\frac{3}{4}$, perché la moltiplicazione precede la sottrazione
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. Calcolare $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$, perché è dentro parentesi

   Le operazioni dentro le parentesi si eseguono sempre per prime, anche se all'esterno ci sono moltiplicazioni che avrebbero normalmente la precedenza sulle addizioni/sottrazioni. Le altre opzioni applicano l'ordine delle operazioni come se le parentesi non ci fossero: è un errore comune quando si legge l'espressione troppo in fretta.

3. Nell'espressione $1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{2}{5}$, che segno ha il risultato della potenza ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2$?

   • A Negativo, perché la base è negativa
   • B Dipende dal segno degli altri termini dell'espressione
   • C Positivo, perché l'esponente è pari
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. Positivo, perché l'esponente è pari

   Una potenza con esponente pari è sempre positiva (o nulla), indipendentemente dal segno della base: ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\left(-\frac{1}{2}\right)·\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$. Chi risponde 'negativo' confonde la potenza con una semplice moltiplicazione per -1, dimenticando che qui la base si moltiplica per se stessa: due fattori uguali danno sempre un prodotto positivo quando l'esponente è pari.

4. Calcola: $-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$

   • A $\frac{3}{11}$
   • B 0
   • C 1
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. 0

   Si porta tutto al denominatore comune 6: $-\frac{2}{6}+\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{0}{6}=0$. L'opzione '1' nasce da un errore di segno sull'ultimo termine (come se fosse $-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}+\frac{1}{2}$, cioè si dimentica che va sottratto); l'opzione '$\frac{3}{11}$' nasce dal classico errore di sommare i denominatori invece di trovare il denominatore comune: $\frac{\left(-1+5-1\right)}{\left(3+6+2\right)}$.

5. Calcola: $\left(-\frac{2}{5}\right)·\left(\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$

   • A $-\frac{3}{5}$
   • B $\frac{3}{5}$
   • C $\frac{3}{20}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. $\frac{3}{5}$

   Moltiplicazione e divisione hanno la stessa precedenza e si eseguono da sinistra a destra: $\left(-\frac{2}{5}\right)·\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{6}{20}=-\frac{3}{10}$; poi, per dividere per $\left(-\frac{1}{2}\right)$, si moltiplica per il suo inverso (-2): $-\frac{3}{10}·\left(-2\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ (negativo diviso negativo dà positivo). L'opzione '$-\frac{3}{5}$' nasce dall'applicare male la regola dei segni (pensando che negativo diviso negativo resti negativo); l'opzione '$\frac{3}{20}$' nasce dal dimenticare che la divisione richiede di moltiplicare per l'inverso del divisore, moltiplicando invece direttamente per $-\frac{1}{2}$ senza capovolgerla.

6. Calcola: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2·\left(-\frac{1}{3}\right)$

   • A $-\frac{9}{4}$
   • B $-\frac{3}{4}$
   • C $\frac{3}{4}$
   • D $-\frac{3}{2}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: B. $-\frac{3}{4}$

   Si calcola prima la potenza: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$, perché l'esponente pari rende positivo il risultato (si eleva sia il valore che il segno viene 'assorbito'); poi si moltiplica $\frac{9}{4}·\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{3}{4}$. L'opzione '$\frac{3}{4}$' nasce dal trattare ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2$ come se restasse negativo $\left(-\frac{9}{4}\right)$ e poi commettere un secondo errore di segno nella moltiplicazione, ottenendo per compensazione un risultato positivo ma sbagliato; '$-\frac{3}{2}$' nasce dall'elevare al quadrato solo il numeratore, dimenticando il denominatore; '$-\frac{9}{4}$' corrisponde a fermarsi dopo la potenza scritta con il segno sbagliato, senza completare la moltiplicazione.

7. Calcola: [$\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)·\left(-\frac{3}{5}\right)$] : $\frac{1}{10}+\frac{1}{4}$

   • A 1
   • B $-\frac{3}{4}$
   • C $\frac{13}{50}$
   • D $\frac{5}{4}$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. $\frac{5}{4}$

   Si parte dalla parentesi tonda: $\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}$. Dentro le quadre si moltiplica: $-\frac{1}{6}·\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ (negativo per negativo dà positivo). Poi la divisione: $\frac{1}{10}:\frac{1}{10}=1$. Infine l'addizione: $1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. L'opzione '1' nasce dal dimenticare l'ultima addizione; '$-\frac{3}{4}$' nasce da un errore di segno nella parentesi tonda (1/2-2/3 calcolato come se fosse positivo); '$\frac{13}{50}$' nasce dal dividere due frazioni senza capovolgere il divisore, moltiplicando direttamente $\frac{1}{10}$ per $\frac{1}{10}$.

8. Osserva l'espressione: $\mathrm{5,5}·\frac{3}{7}+\mathrm{4,5}·\frac{3}{7}$. Qual è la strategia più rapida per calcolarla?

   • A Approssimare $\frac{3}{7}$ a 0,4 per semplificare i calcoli
   • B Trasformare 5,5 e 4,5 in frazioni con denominatore 7 e poi sommare i numeratori
   • C Raccogliere $\frac{3}{7}$ come fattore comune: $\frac{3}{7}·\left(\mathrm{5,5}+\mathrm{4,5}\right)=\frac{3}{7}·10=\frac{30}{7}$
   • D Calcolare separatamente i due prodotti con la calcolatrice e poi sommarli
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: C. Raccogliere $\frac{3}{7}$ come fattore comune: $\frac{3}{7}·\left(\mathrm{5,5}+\mathrm{4,5}\right)=\frac{3}{7}·10=\frac{30}{7}$

   Quando lo stesso fattore (qui $\frac{3}{7}$) moltiplica due addendi, conviene raccogliere il fattore comune invece di fare due moltiplicazioni separate: si trasforma la somma di due prodotti in un solo prodotto, molto più veloce a mente (5,5+4,5=10, poi $\frac{3}{7}·10=\frac{30}{7}$). Calcolare i due prodotti separatamente porta comunque al risultato corretto ma è più lento; trasformare 5,5 e 4,5 in frazioni con denominatore 7 complica inutilmente il calcolo; approssimare $\frac{3}{7}$ a 0,4 fa perdere l'esattezza, che in un'espressione va sempre mantenuta.

9. Qual è il modo più agile per calcolare $\mathrm{0,2}·47+\frac{1}{5}·3$ ?

   • A Sommare prima 47+3=50 e poi moltiplicare il risultato sia per 0,2 sia per $\frac{1}{5}$, sommando infine i due prodotti
   • B Trasformare 47 e 3 in frazioni con denominatore 5 prima di moltiplicare
   • C Calcolare 0,2 · 47 e $\frac{1}{5}·3$ separatamente: i due risultati parziali saranno leggermente diversi per arrotondamento
   • D Riconoscere che $\mathrm{0,2}=\frac{1}{5}$ e raccogliere il fattore comune: $\frac{1}{5}·\left(47+3\right)=\frac{1}{5}·50=10$
   Vedi la risposta

   Risposta giusta: D. Riconoscere che $\mathrm{0,2}=\frac{1}{5}$ e raccogliere il fattore comune: $\frac{1}{5}·\left(47+3\right)=\frac{1}{5}·50=10$

   Il primo passo agile è riconoscere che 0,2 e $\frac{1}{5}$ sono la stessa quantità scritta in due modi diversi: fatto questo, si raccoglie il fattore comune e si trasformano due moltiplicazioni in una sola: $\frac{1}{5}·\left(47+3\right)=\frac{1}{5}·50=10$. Sommare prima 47+3 e poi moltiplicare il risultato sia per 0,2 sia per $\frac{1}{5}$, sommando infine i due prodotti, fraintende il raccoglimento a fattor comune: si moltiplica due volte per lo stesso fattore invece di una sola, ottenendo $\mathrm{0,2}·50+\frac{1}{5}·50=20$, un risultato raddoppiato e sbagliato. Trasformare 47 e 3 in frazioni con denominatore 5 prima di moltiplicare complica inutilmente il calcolo. Ed è falso che calcolando 0,2 · 47 e $\frac{1}{5}·3$ separatamente si ottengano risultati diversi per arrotondamento: dato che $\mathrm{0,2}=\frac{1}{5}$ esattamente, il calcolo corretto dà comunque 9,4+0,6=10, senza alcun arrotondamento.

10. Un alunno calcola $\left(-\frac{2}{3}\right)·\left(-\frac{4}{5}\right)$ applicando per errore la regola dei segni dell'addizione invece di quella della moltiplicazione. Qual è l'errore e qual è il risultato corretto?

    • A Pensa che il risultato sia il doppio del prodotto dei valori assoluti; il risultato corretto è comunque $\frac{8}{15}$
    • B Il risultato corretto è $-\frac{8}{15}$, quindi il ragionamento dell'alunno è giusto
    • C Non commette nessun errore: la regola dei segni è la stessa per addizione e moltiplicazione
    • D Pensa che 'meno per meno' dia un segno negativo come in una sottrazione; il risultato corretto è invece positivo: $\frac{8}{15}$
    Vedi la risposta

    Risposta giusta: D. Pensa che 'meno per meno' dia un segno negativo come in una sottrazione; il risultato corretto è invece positivo: $\frac{8}{15}$

    La regola dei segni della moltiplicazione (e della divisione) è diversa da quella dell'addizione: nel prodotto, 'meno per meno fa più' sempre, indipendentemente dai valori assoluti dei numeri coinvolti. L'alunno pensa erroneamente che due fattori negativi diano un risultato negativo, come se stesse sottraendo invece di moltiplicando, ma $\left(-\frac{2}{3}\right)·\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{8}{15}$, positivo, perché il prodotto di due numeri negativi è sempre positivo. Anche affermare che il risultato sia $-\frac{8}{15}$ (e quindi che il ragionamento dell'alunno sia giusto), oppure che non ci sia alcun errore perché la regola dei segni è la stessa per addizione e moltiplicazione, negano questa regola fondamentale e vanno scartate: non esiste alcun caso in cui il prodotto di due frazioni negative resti negativo. Anche pensare che l'errore sia aver raddoppiato il prodotto dei valori assoluti non coglie il punto: il problema descritto è la confusione tra regola dei segni dell'addizione e della moltiplicazione, non un errore di raddoppio.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.