Matematica · 3ª media · Lezione 7 di 11

Calcolo con frazioni e numeri decimali

Laboratorio su «Calcolo con frazioni e numeri decimali» nel percorso «Numeri razionali e insiemi numerici», per la 3ª media.

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Teoria in pillole

Con i numeri razionali la stessa operazione si può fare in più modi, e la scelta della forma cambia la quantità di lavoro. La frazione conserva il valore esatto; il decimale rende immediati confronti e stime. Conviene decidere prima di cominciare, non a metà del calcolo.

Semplificare prima di moltiplicare

$\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{25} = \frac{3}{10}$

Semplificando

15

con

25

14

con

28

si arriva a

\frac{3}{10}

senza passare da

\frac{210}{700}

, che poi andrebbe ridotto.

Scegliere la forma decimale

$0,25 \cdot 36 = 9$

Qui il decimale è più veloce del passaggio per

\frac{25}{100}

: si riconosce che

0,25

è un quarto e si divide per quattro.

Restare in frazione per non perdere esattezza

$\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$

Passando per

0,33

si otterrebbe

0,99

, che non è il risultato: la scrittura decimale troncata ha già perso una parte del numero.

Le frazioni con denominatore $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ , $25$ e $50$ hanno un decimale limitato comodo: conviene impararle a memoria.
Le proprietà delle operazioni servono anche qui: $\frac{7}{9} \cdot 5 + \frac{2}{9} \cdot 5 = (\frac{7}{9} + \frac{2}{9}) \cdot 5 = 5$ .
Prima di calcolare conviene stimare: $\frac{7}{8}$ di $40$ sarà poco meno di $40$ , quindi un risultato come $5$ è certamente sbagliato.

La forma decimale è comoda ma non sempre esatta. $\frac{1}{3}$ non ha una scrittura decimale finita, quindi ogni volta che la si tronca si introduce un errore che nei passaggi successivi cresce. Nei calcoli in cui il risultato deve essere esatto si resta in frazione fino alla fine, e semmai si passa al decimale soltanto per scrivere la risposta.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Calcolo con frazioni e numeri decimali

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Domande

Devi dividere in modo esatto una torta fra tre persone. Quale scrittura rappresenta meglio la quota di ciascuno senza approssimarla?
- A $\frac{1}{3}$
- B $0,3$
- C $0,33$
- D $\frac{3}{1}$
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Risposta giusta: A. $\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$ esprime esattamente una delle tre parti uguali. $0,3$ e $0,33$ sono approssimazioni per difetto del decimale periodico $0,333…$ ; $\frac{3}{1}$ vale 3 e scambia il ruolo della parte con quello dell'intero.
Calcola $- \frac{3}{4} + 1,2$ .
- A $- 1,95$
- B $- 0,45$
- C $1,95$
- D $0,45$
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Risposta giusta: D. $0,45$
$- \frac{3}{4} = - 0,75$ , quindi $- 0,75 + 1,2 = 0,45$ . Il risultato è positivo perché 1,2 ha valore assoluto maggiore di 0,75. $- 1,95$ nasce dal sommare i valori assoluti mantenendo il segno meno; $- 0,45$ sbaglia il segno; $1,95$ somma invece di calcolare la differenza.
Calcola $\frac{2}{3} : (- \frac{4}{5})$ e riduci il risultato ai minimi termini.
- A $- \frac{8}{15}$
- B $- \frac{5}{6}$
- C $\frac{5}{6}$
- D $\frac{8}{15}$
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Risposta giusta: B. $- \frac{5}{6}$
Dividere per $- \frac{4}{5}$ significa moltiplicare per la sua inversa $- \frac{5}{4}$ : $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{5}{4}) = - \frac{10}{12} = - \frac{5}{6}$ . $- \frac{8}{15}$ moltiplica direttamente le frazioni senza invertire il divisore; $\frac{5}{6}$ perde il segno; $\frac{8}{15}$ commette entrambi gli errori.
Calcola $- 1,25 + \frac{3}{4}$ .
- A $- 2$
- B $0,5$
- C $- 0,5$
- D $2$
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Risposta giusta: C. $- 0,5$
$\frac{3}{4} = 0,75$ , quindi $- 1,25 + 0,75 = - 0,50$ . Il risultato resta negativo perché 1,25 ha valore assoluto maggiore di 0,75. $0,5$ usa la differenza corretta ma sbaglia il segno; $- 2$ e $2$ sommano i valori assoluti.
Quali sono, nell'ordine, l'opposto e l'inverso di $- \frac{3}{5}$ ?
- A $\frac{3}{5}$ e $- \frac{5}{3}$
- B $- \frac{5}{3}$ e $\frac{3}{5}$
- C $\frac{3}{5}$ e $\frac{5}{3}$
- D $- \frac{3}{5}$ e $- \frac{5}{3}$
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Risposta giusta: A. $\frac{3}{5}$ e $- \frac{5}{3}$
L'opposto di $- \frac{3}{5}$ è $\frac{3}{5}$ , perché la loro somma è zero. L'inverso è $- \frac{5}{3}$ , perché il prodotto con $- \frac{3}{5}$ vale 1. Le altre risposte confondono le due idee oppure perdono il segno dell'inverso.
Calcola rispettando l'ordine delle operazioni: $0,5 - (\frac{3}{4} : \frac{3}{2})$ .
- A $- \frac{1}{4}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $1$
- D $0$
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Risposta giusta: D. $0$
Prima si esegue la divisione tra parentesi: $\frac{3}{4} : \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} = 0,5$ . Poi $0,5 - 0,5 = 0$ . Le altre opzioni derivano dal saltare l'inversione del divisore o dal sottrarre prima di svolgere la parentesi.
Perché, nel calcolo $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ , conviene mantenere la forma frazionaria?
- A Perché i numeri decimali non si possono sommare
- B Perché consente un risultato esatto: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ , senza troncare il periodico $0,333…$
- C Perché una frazione è sempre maggiore del decimale equivalente
- D Perché con le frazioni non serve un denominatore comune
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Risposta giusta: B. Perché consente un risultato esatto: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ , senza troncare il periodico $0,333…$
La forma frazionaria conserva l'esattezza: con denominatore comune, $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Usare 0,33 al posto di $\frac{1}{3}$ introdurrebbe un'approssimazione. I decimali si possono sommare, una frazione e il suo decimale sono equivalenti, e nelle somme di frazioni il denominatore comune serve.
Confronta $- 0,62$ e $- \frac{3}{5}$ . Quale relazione è corretta?
- A $- 0,62 > - \frac{3}{5}$ , perché 62 è maggiore di 60
- B $- 0,62 = - \frac{3}{5}$
- C $- 0,62 < - \frac{3}{5}$ , perché $- \frac{3}{5} = - 0,60$ e $- 0,62$ è più a sinistra sulla retta
- D Non si possono confrontare perché sono scritti in forme diverse
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Risposta giusta: C. $- 0,62 < - \frac{3}{5}$ , perché $- \frac{3}{5} = - 0,60$ e $- 0,62$ è più a sinistra sulla retta
$- \frac{3}{5} = - 0,6 = - 0,60$ . Tra numeri negativi, quello più lontano da zero è il più piccolo: perciò $- 0,62 < - 0,60$ . Scritture diverse si possono confrontare trasformandole nella stessa forma; non sono uguali e non basta ignorare il segno.
Calcola e semplifica $(- \frac{7}{12}) \cdot (\frac{18}{35})$ .
- A $- \frac{3}{10}$
- B $\frac{3}{10}$
- C $- \frac{126}{47}$
- D $- \frac{7}{10}$
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Risposta giusta: A. $- \frac{3}{10}$
Il prodotto è negativo. Semplificando prima, 18 e 12 diventano 3 e 2, mentre 7 e 35 diventano 1 e 5: resta $- \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 5)} = - \frac{3}{10}$ . $\frac{3}{10}$ perde il segno; $- \frac{126}{47}$ somma i denominatori; $- \frac{7}{10}$ semplifica in modo incompleto o scorretto.
Un acquisto costa 12,50 euro e si aggiungono i $\frac{3}{4}$ di 8 euro per un servizio. Qual è il totale?
- A 14,50 euro
- B 15,50 euro
- C 20,50 euro
- D 18,50 euro
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Risposta giusta: D. 18,50 euro
I $\frac{3}{4}$ di 8 euro sono $\frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ euro. Il totale è quindi $12,50 + 6 = 18,50$ euro. 14,50 considera solo un quarto di 8; 15,50 aggiunge il numeratore 3; 20,50 aggiunge tutti gli 8 euro invece della frazione richiesta.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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