Matematica · 3ª media · Lezione 8 di 11

Numeri razionali: opposto, inverso e valore assoluto

Gli insiemi N, Z e Q e la loro gerarchia, il numero razionale come rapporto di interi, opposto e inverso, e il valore assoluto per calcolare distanze tra punti allineati.

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Teoria in pillole

Dato un numero razionale, tre operazioni diverse ne producono un altro, e i loro nomi si somigliano abbastanza da farle confondere. L'opposto nasce dall'addizione, l'inverso dalla moltiplicazione, il valore assoluto dalla misura di una distanza.

Opposto: la somma fa zero

$\frac{3}{5} + (- \frac{3}{5}) = 0$

Due numeri opposti stanno sulla retta alla stessa distanza dallo zero, da parti diverse. Lo zero è opposto di se stesso.

Inverso: il prodotto fa uno

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$

Si scambiano numeratore e denominatore. Lo zero non ha inverso, perché nessun numero moltiplicato per zero dà uno.

Valore assoluto: la distanza dallo zero

$| - 3 | = 3$

Il valore assoluto è la distanza del numero dallo zero, quindi non è mai negativo:

| 3 | = 3

| - 3 | = 3

Fra due punti allineati la distanza è il valore assoluto della differenza: da $- 2$ a $5$ ci sono $| 5 - (- 2) | = 7$ unità.
L'opposto di un numero negativo è positivo: l'opposto di $- \frac{3}{4}$ è $\frac{3}{4}$ .
Un numero e il suo inverso stanno da parti opposte rispetto a $1$ : se uno è maggiore di $1$ , l'altro è minore.
Gli unici numeri che coincidono con il proprio inverso sono $1$ e $- 1$ .

Opposto e inverso non sono la stessa cosa: l'opposto di $\frac{3}{4}$ è $- \frac{3}{4}$ , l'inverso è $\frac{4}{3}$ . Il controllo è nell'operazione che li definisce: se sommandoli si ottiene zero sono opposti, se moltiplicandoli si ottiene uno sono inversi. E il valore assoluto non «toglie il meno» a una scrittura: misura una distanza, per questo $| - 3 |$ e $| 3 |$ danno lo stesso numero.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Numeri razionali: opposto, inverso e valore assoluto

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Simulazioni

Linea dei numeri: distanza (PhET, sito esterno): Prova a collocare coppie di numeri positivi e negativi sulla stessa retta e osserva come la distanza dipende dalla separazione e non dall'ordine.
Retta orientata: numeri interi (PhET, sito esterno): Prova ad esplorare interi positivi, negativi e zero sulla retta orientata e osserva come posizione e segno organizzano l'insieme in un unico percorso.

Domande

Quale affermazione è corretta per il numero -8?
- A è un numero naturale
- B è un numero intero ma non naturale
- C è un numero naturale e intero
- D non è un numero razionale
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Risposta giusta: B. è un numero intero ma non naturale
-8 è negativo, quindi non appartiene a N (che contiene solo 0, 1, 2, 3, …); appartiene invece a Z, e ogni numero intero è anche razionale perché si può scrivere come $- \frac{8}{1}$ . Dire che -8 è un numero naturale sbaglia perché N raccoglie solo i numeri senza segno usati per contare; dire che -8 non è un numero razionale è sbagliato perché ogni intero è sempre anche un numero razionale.
Qual è la corretta relazione di inclusione tra gli insiemi numerici studiati?
- A N ⊂ Z ⊂ Q
- B Z ⊂ N ⊂ Q
- C Q ⊂ Z ⊂ N
- D N ⊂ Q ⊂ Z
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Risposta giusta: A. N ⊂ Z ⊂ Q
I naturali sono contenuti negli interi, che aggiungono i numeri negativi; gli interi sono a loro volta contenuti nei razionali, che aggiungono le frazioni non intere. Le altre opzioni invertono l'ordine corretto della gerarchia N ⊂ Z ⊂ Q.
Perché il numero 0,7 è un numero razionale?
- A perché è un numero decimale
- B perché si può scrivere come rapporto di due interi, $\frac{7}{10}$
- C perché è minore di 1
- D perché non è un numero intero
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Risposta giusta: B. perché si può scrivere come rapporto di due interi, $\frac{7}{10}$
Un numero è razionale quando può essere scritto come quoziente (rapporto) tra due numeri interi: $0,7 = \frac{7}{10}$ . Dire che è razionale solo perché è un numero decimale non basta a definirlo tale, poiché la definizione richiede proprio il rapporto tra interi; dire che è minore di 1 o che non è un numero intero descrive proprietà vere di 0,7, ma non spiega perché sia razionale.
Qual è l'opposto del numero $\frac{2}{3}$ ?
- A $- \frac{2}{3}$
- B $\frac{3}{2}$
- C $- \frac{3}{2}$
- D $\frac{2}{3}$
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Risposta giusta: A. $- \frac{2}{3}$
L'opposto di un numero si ottiene cambiando segno, perché la loro somma deve fare zero: $\frac{2}{3} + (- \frac{2}{3}) = 0$ . L'opzione $\frac{3}{2}$ è l'inverso di $\frac{2}{3}$ (si ottiene capovolgendo la frazione, perché il prodotto deve fare 1): è l'errore più comune, scambiare opposto e inverso.
Qual è l'inverso del numero -5?
- A 5
- B $- \frac{1}{5}$
- C $\frac{1}{5}$
- D -5
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Risposta giusta: B. $- \frac{1}{5}$
L'inverso (reciproco) di un numero si scrive come 1 diviso il numero, mantenendo il segno: $- 5 \cdot (- \frac{1}{5}) = 1$ . Scrivere 5 confonde l'inverso con l'opposto; scrivere $\frac{1}{5}$ è l'errore di dimenticare il segno nell'inverso, perché $- 5 \cdot \frac{1}{5} = - 1$ e non 1.
Calcola |-9| + |4|
- A -13
- B 13
- C -5
- D 5
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Risposta giusta: B. 13
Il valore assoluto è sempre positivo o nullo, perché rappresenta una distanza dallo zero: |-9| = 9 e |4| = 4, quindi 9 + 4 = 13. L'opzione -13 nasce dal trattare erroneamente il valore assoluto come se conservasse il segno originale del numero.
Quali numeri interi soddisfano la condizione |x| = 6?
- A solo 6
- B solo -6
- C 6 e -6
- D nessun numero
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Risposta giusta: C. 6 e -6
Il valore assoluto è la distanza dallo zero: sia 6 che -6 si trovano a distanza 6 dallo zero, quindi entrambi soddisfano la condizione. Scegliere solo 6 oppure solo -6 è l'errore più comune: si dimentica che un numero e il suo opposto hanno sempre lo stesso valore assoluto. Dire che nessun numero soddisfa la condizione è sbagliato, perché di soluzioni ce ne sono proprio due.
Sul piano cartesiano i punti A(3, 5) e B(3, -2) hanno la stessa ascissa. Qual è la distanza AB?
- A 7
- B 3
- C -7
- D 2
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Risposta giusta: A. 7
Quando due punti hanno la stessa coordinata x, la distanza si calcola con il valore assoluto della differenza delle ordinate: |5 - (-2)| = |7| = 7. Il risultato -7 è sbagliato perché una distanza non può mai essere negativa; 3 confonde l'ascissa comune con la misura da calcolare.
Il numero a è negativo. Quale affermazione è sempre vera?
- A -a è negativo
- B |a| = a
- C -a è positivo
- D l'inverso di a è positivo
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Risposta giusta: C. -a è positivo
Se a è negativo, il suo opposto -a è positivo, perché cambiare segno a un numero negativo dà sempre un numero positivo. Dire che -a è negativo ripete lo stesso errore al contrario; dire che |a| = a è falso perché il valore assoluto di un numero negativo è il suo opposto -a, non a stesso; dire che l'inverso di a è positivo è falso perché l'inverso di un numero mantiene sempre lo stesso segno del numero di partenza.
Quale affermazione sui numeri razionali è corretta?
- A ogni numero intero è anche un numero razionale
- B ogni numero razionale è anche un numero naturale
- C ogni numero naturale non è mai un numero razionale
- D solo le frazioni sono numeri razionali, non gli interi
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Risposta giusta: A. ogni numero intero è anche un numero razionale
Ogni numero intero si può scrivere come rapporto con denominatore 1 (es. $- 8 = - \frac{8}{1}$ ), quindi è sempre anche razionale: è proprio la gerarchia N ⊂ Z ⊂ Q. Dire che ogni razionale è anche naturale è falso perché non tutti i razionali sono naturali (es. -3 o $\frac{1}{2}$ ); dire che nessun naturale è mai razionale è falso perché anche i numeri naturali, essendo anche interi, sono sempre razionali; dire che solo le frazioni sono razionali è un errore tipico che dimentica che anche i numeri interi sono numeri razionali.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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