Matematica · 3ª media · Lezione 9 di 11

I numeri reali

I numeri irrazionali (radici non esatte, pi greco) come decimali illimitati non periodici, l'insieme R che unisce razionali e irrazionali, e la gerarchia completa N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

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Teoria in pillole

Ci sono numeri che non si possono scrivere come frazione fra due interi: si chiamano irrazionali, e la loro scrittura decimale è illimitata e senza periodo. Razionali e irrazionali insieme formano l'insieme dei numeri reali, che riempie completamente la retta.

Un irrazionale che serve davvero

Un quadrato ha il lato di $1$ . Quanto misura la sua diagonale?

$d = \sqrt{2} = 1,41421356…$

La misura esiste, si può disegnare, ma non si scrive come frazione: le cifre decimali proseguono senza ripetersi mai in modo regolare.

Come si distinguono i decimali illimitati

$\frac{1}{3} = 0, 3$

$π = 3,14159265…$

Il primo è illimitato ma periodico, quindi razionale. Il secondo è illimitato e non periodico, quindi irrazionale.

Sulla retta stanno insieme

Fra due razionali qualsiasi si può sempre trovarne un altro, eppure restano dei punti scoperti: quei punti sono gli irrazionali.

Ogni punto della retta corrisponde a un numero reale, e ogni numero reale a un punto: fra i razionali restano i buchi che gli irrazionali riempiono.

La radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto è irrazionale: $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ lo sono, $\sqrt{4} = 2$ no.
Per collocare un irrazionale sulla retta si usa un'approssimazione decimale, e la si dichiara: $\sqrt{2} \approx 1,41$ .
Con gli irrazionali la catena degli insiemi si chiude: $ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ$ .

Non basta che un decimale sia infinito per dirlo irrazionale: $0, 3$ ha infinite cifre ed è il razionalissimo $\frac{1}{3}$ . Quello che conta è il periodo: se le cifre si ripetono con regolarità esiste una frazione generatrice, e il numero è razionale; se non si ripetono mai, la frazione non esiste.

La mappa

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Domande

Che cos'è, in generale, un numero irrazionale?
- A Un numero negativo scritto sotto il simbolo di radice
- B Un numero decimale illimitato e periodico (che si ripete sempre secondo uno stesso blocco)
- C Un numero decimale limitato (con un numero finito di cifre dopo la virgola)
- D Un numero decimale illimitato e NON periodico (le cifre non si ripetono mai secondo uno schema)
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Risposta giusta: D. Un numero decimale illimitato e NON periodico (le cifre non si ripetono mai secondo uno schema)
I numeri irrazionali, come √2 o π, scritti in forma decimale hanno infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono mai secondo un blocco fisso: sono illimitati e NON periodici. L'opzione «limitato» descrive i razionali con denominatore fatto solo di fattori 2 e/o 5; l'opzione «periodico» descrive gli altri numeri razionali (come $\frac{1}{3} = 0,3$ periodico); il segno non c'entra: un numero irrazionale può benissimo essere positivo.
Come si ottiene l'insieme R dei numeri reali?
- A Prendendo solo le radici quadrate non esatte
- B Unendo i numeri naturali e i numeri interi
- C Unendo i numeri interi e le frazioni
- D Unendo i numeri razionali e i numeri irrazionali
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Risposta giusta: D. Unendo i numeri razionali e i numeri irrazionali
R è per definizione l'insieme che riunisce i numeri razionali (Q) e i numeri irrazionali. Unire naturali e interi dà solo Z, che è già contenuto in Q: non basta a formare R. Le radici non esatte sono solo una parte degli irrazionali (c'è anche π, che non è una radice). Interi più frazioni è di nuovo solo Q, senza gli irrazionali.
Quale di questi numeri è irrazionale?
- A $\frac{3}{4}$
- B 0,25
- C √7
- D √16
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Risposta giusta: C. √7
16 è un quadrato perfetto $(4^{2} = 16)$ , quindi √16 = 4 è un numero razionale (anzi intero). 7 non è il quadrato di nessun numero razionale, quindi √7 è un decimale illimitato non periodico: è irrazionale. 0,25 e $\frac{3}{4}$ sono lo stesso numero razionale, scritto in due forme diverse.
√49 è un numero razionale o irrazionale?
- A Razionale (anzi intero), perché 49 è il quadrato di un numero razionale: $7^{2} = 49$ , quindi √49 = 7
- B Razionale, perché 49 è un numero pari
- C Irrazionale, perché è comunque il risultato di una radice quadrata
- D Irrazionale, perché il risultato potrebbe avere la virgola
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Risposta giusta: A. Razionale (anzi intero), perché 49 è il quadrato di un numero razionale: $7^{2} = 49$ , quindi √49 = 7
Non tutte le radici quadrate sono irrazionali: lo sono solo quando il numero sotto radice non è il quadrato di un numero razionale. Qui $49 = 7^{2}$ , quindi √49 = 7, un numero razionale (intero). L'idea «radice quadrata = sempre irrazionale» è una generalizzazione sbagliata, smentita proprio da questo esempio. Il risultato è esattamente 7, che non ha nemmeno la virgola. Inoltre 49 è dispari, non pari: comunque la parità del radicando non c'entra con la natura della radice.
Perché √20 è un numero irrazionale?
- A Perché 20 non è un numero primo
- B Perché il suo valore approssimato è 4,47
- C Perché non esiste nessun numero razionale che, elevato al quadrato, dia esattamente 20
- D Perché 20 è un numero pari
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Risposta giusta: C. Perché non esiste nessun numero razionale che, elevato al quadrato, dia esattamente 20
La definizione operativa è proprio questa: √20 è irrazionale perché nessuna frazione a/b, elevata al quadrato, può dare esattamente 20 (20 non è il quadrato di un numero razionale). Pari/dispari o primo/non primo del radicando non determinano da soli la natura della radice (per esempio √4 = 2 è pari e razionale, mentre √2 è irrazionale). Il valore approssimato 4,47 è una conseguenza dell'irrazionalità, non la causa.
Il numero π (pi greco) è...
- A Un numero razionale con un periodo molto lungo, difficile da individuare
- B Un numero irrazionale: il suo sviluppo decimale è illimitato e NON periodico
- C Esattamente uguale alla frazione $\frac{22}{7}$
- D Un numero intero, se lo si approssima a 3
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Risposta giusta: B. Un numero irrazionale: il suo sviluppo decimale è illimitato e NON periodico
π, il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, è un classico esempio di numero irrazionale: le sue cifre decimali continuano all'infinito senza mai ripetersi secondo uno schema. Non è «razionale con periodo lunghissimo»: un numero periodico, per quanto lungo sia il periodo, resta comunque razionale. $\frac{22}{7}$ è solo un'approssimazione comoda per i calcoli, non il valore esatto di π. $3$ è solo un arrotondamento grossolano, non il numero stesso.
Qual è la corretta relazione di inclusione tra gli insiemi numerici studiati?
- A N ⊂ Q ⊂ Z ⊂ R
- B Z ⊂ N ⊂ Q ⊂ R
- C R ⊂ Q ⊂ Z ⊂ N
- D N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
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Risposta giusta: D. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I numeri naturali sono contenuti negli interi (si aggiungono gli opposti dei naturali), gli interi sono contenuti nei razionali (si aggiungono le frazioni), i razionali sono contenuti nei reali (si aggiungono gli irrazionali): N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Le altre opzioni invertono l'ordine (Z non può contenere N, che è più piccolo) oppure lo capovolgono completamente (R è l'insieme più grande di tutti, non il più piccolo).
A quale insieme numerico PIÙ PICCOLO appartiene il numero −5?
- A N (naturali)
- B Agli irrazionali
- C Solo Q, perché non è un numero intero
- D Z (interi)
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Risposta giusta: D. Z (interi)
−5 è un numero intero negativo: non appartiene a N (che contiene solo 0, 1, 2, 3...) ma è già presente in Z, che è il più piccolo insieme che lo contiene (essendo Z ⊂ Q ⊂ R, −5 è automaticamente anche razionale e reale, ma la sua «casa» più piccola è Z). Non è vero che sia «solo razionale e non intero»: −5 è a tutti gli effetti un numero intero. Non è irrazionale: si scrive benissimo come frazione, per esempio $- \frac{5}{1}$ .
Come si può stabilire con certezza se un numero è irrazionale?
- A Contando quante cifre ha dopo la virgola
- B Guardando se il numero è scritto con il simbolo di radice
- C Controllando se il numero è maggiore di 1
- D Verificando se può essere scritto come una frazione a/b con a e b numeri interi (b ≠ 0): se non si può, è irrazionale
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Risposta giusta: D. Verificando se può essere scritto come una frazione a/b con a e b numeri interi (b ≠ 0): se non si può, è irrazionale
La definizione di numero irrazionale è proprio questa: un numero che NON si può esprimere come frazione a/b con a e b interi. Contare le cifre dopo la virgola non basta, perché anche i decimali periodici (razionali) ne hanno infinite. Il simbolo di radice da solo non garantisce nulla: √49 ha il simbolo di radice ma è razionale. Il confronto con 1 non ha alcun legame con razionalità o irrazionalità.
0,3 periodico (0,333...) è un numero irrazionale, perché ha infinite cifre dopo la virgola. Vero o falso?
- A Vero, perché non finisce mai di scrivere cifre
- B Falso: è periodico, quindi è un numero razionale (si può scrivere come la frazione $\frac{1}{3}$ )
- C Falso, perché è un numero negativo
- D Vero, perché non è un numero intero
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Risposta giusta: B. Falso: è periodico, quindi è un numero razionale (si può scrivere come la frazione $\frac{1}{3}$ )
Attenzione a questo errore tipico: «avere infinite cifre» da solo non basta per dire che un numero è irrazionale. Un decimale illimitato ma PERIODICO (come 0,333... = $\frac{1}{3}$ ) è comunque un numero razionale, perché si può scrivere come frazione. Solo i decimali illimitati e NON periodici (come √2 o π) sono irrazionali. Il numero, tra l'altro, non è nemmeno negativo: è positivo.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Razionali: Esercizi progressivi a livelli, con correzione passo-passo e salvataggio dei progressi.

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